Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica Tópico resolvido

[Flavio2020]

Se r=60,calcule as coordenadas do ponto A,na posição final mostrada.

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Resposta

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130 [tex3]\pi -20;60-3\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi -20;60-3\sqrt{3}[/tex3]

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veja se entendi corretamente, no primeiro circulo o ponto A está na origem, depois ele da uma volta e é representado pelo segundo circulo, depois o ponto A se move 30º (acho que ficou confuso o que eu tentei explicar q entendi)
mas usando o formula para o comprimento do circulo descobrimos que o ponto A no segundo circulo é
[tex3](120\pi, 0)[/tex3]

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[tex3](120\pi, 0)[/tex3]

, depois, no terceiro circulo, vamos chamar de B o pontoo em que a circunferência toca o eixo x, ai usando
[tex3]a=\theta r[/tex3]

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[tex3]a=\theta r[/tex3]

para descobrir o tamanho do arco AB, encontramos que o arco vale [tex3]10\pi[/tex3]

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[tex3]10\pi[/tex3]

, então por um raciocínio análogo ao que usei na segunda figura do circulo B deve estar em [tex3](130\pi, 0)[/tex3]

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[tex3](130\pi, 0)[/tex3]

com isso a distancia de A até B pode ser usada usando lei dos cossenos, com isso encontramos que [tex3](AB)^2=2\cdot60^2-\sqrt{3}\cdot60^2[/tex3]

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[tex3](AB)^2=2\cdot60^2-\sqrt{3}\cdot60^2[/tex3]

, vamos dizer que as coordenadas do ponto A são (x, y)
[tex3]\sqrt{(130\pi-x)^2+y^2}=\sqrt{2\cdot60^2-60^2\sqrt{3}}\\
(130\pi-x)^2+y^2 =2\cdot60^2-60^2\sqrt{3} [/tex3]

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[tex3]\sqrt{(130\pi-x)^2+y^2}=\sqrt{2\cdot60^2-60^2\sqrt{3}}\\
(130\pi-x)^2+y^2 =2\cdot60^2-60^2\sqrt{3} [/tex3]

encontramos também
[tex3]\sqrt{(130\pi-x)^2+(y-60)^2}=60\\
(130\pi-x)^2+(y-60)^2=60^2[/tex3]

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[tex3]\sqrt{(130\pi-x)^2+(y-60)^2}=60\\
(130\pi-x)^2+(y-60)^2=60^2[/tex3]

que é a distancia de A até o centro do circulo
agora basta resolver esse sistema muito fácil
[tex3]\begin{cases}
(130\pi-x)^2+(y-60)^2=60^2 \\
(130\pi-x)^2+y^2 =2\cdot60^2-60^2\sqrt{3}
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
(130\pi-x)^2+(y-60)^2=60^2 \\
(130\pi-x)^2+y^2 =2\cdot60^2-60^2\sqrt{3}
\end{cases}[/tex3]

subtraia a 2º equação da primeira, o (130pi-x)^2 vão se cancelar, vc vai ficar com [tex3]y = 60-30\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]y = 60-30\sqrt{3}[/tex3]

acho que há um erro no gabarito, agora substituindo o valor de y na primeira equação
[tex3](130\pi-x)^2+(60-60-30\sqrt{3})^2=60^2\\
(130\pi-x)^2 +30^23=60^2\\
(130\pi-x)^2= 3600-2700\\
(130\pi-x)^2= 900\\
130\pi-x = \pm30\\
130\pi\pm30=x
[/tex3]

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[tex3](130\pi-x)^2+(60-60-30\sqrt{3})^2=60^2\\
(130\pi-x)^2 +30^23=60^2\\
(130\pi-x)^2= 3600-2700\\
(130\pi-x)^2= 900\\
130\pi-x = \pm30\\
130\pi\pm30=x
[/tex3]

como x é o valor a direita de 130pi, então pegamos o -30
com isso, encontramos as [tex3](130\pi-30, 60-30\sqrt{3})[/tex3]

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[tex3](130\pi-30, 60-30\sqrt{3})[/tex3]