a) Encontre o valor de [tex3]\frac{PL}{AL}+\frac{PM}{BM}+\frac{PN}{GN}[/tex3]
b) Encontre o valor de [tex3]\frac{AP}{AL}+\frac{BP}{BM}+\frac{CP}{CN}[/tex3]
Resposta
a) 1 b) 2
Ensino Médio ⇒ Geometria plana Tópico resolvido
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Mai 2020
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Geometria plana
No triângulo ABC, os pontos L, M, N estão sobre BC, AC, AB, respectivamente, e AL, BM, CN são concorrentes.
a) Encontre o valor de [tex3]\frac{PL}{AL}+\frac{PM}{BM}+\frac{PN}{GN}[/tex3]
b) Encontre o valor de [tex3]\frac{AP}{AL}+\frac{BP}{BM}+\frac{CP}{CN}[/tex3]
a) 1 b) 2
a) Encontre o valor de [tex3]\frac{PL}{AL}+\frac{PM}{BM}+\frac{PN}{GN}[/tex3]
b) Encontre o valor de [tex3]\frac{AP}{AL}+\frac{BP}{BM}+\frac{CP}{CN}[/tex3]
a) 1 b) 2
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Out 2023
14
22:40
Re: Geometria plana
Aparentemente, o ponto P é a interseção de AL, BM, e CN, e no item a) é um [tex3]C[/tex3]
no lugar do [tex3]G[/tex3]
.
a) Sejam [tex3]d_a,[/tex3] [tex3]d_b,[/tex3] [tex3]d_c[/tex3] as distâncias do ponto P aos lados BC, AC e AB, respectivamente, e sejam [tex3]h_a,[/tex3] [tex3]h_b,[/tex3] [tex3]h_c[/tex3] as alturas do triângulo ABC relativas a esses mesmos lados.
Por semelhança de triângulos, é fácil ver que [tex3]\frac{PL}{d_a}=\frac{AL}{h_a} \Longrightarrow \frac{d_a}{h_a}=\frac{PL}{AL}.[/tex3]
Analogamente para os outros lados e somando as equações:
[tex3]\frac{PL}{AL}+\frac{PM}{BM}+\frac{PN}{CN}=\frac{d_a}{h_a}+\frac{d_b}{h_b}+\frac{d_c}{h_c}.[/tex3]
Conforme demonstrado no lema da minha resolução deste tópico: viewtopic.php?f=3&t=106793 , a soma acima vale [tex3]\boxed{1}[/tex3] .
b) Temos [tex3]\frac{PL}{AL}=\frac{AL-AP}{AL}=1-\frac{AP}{AL}.[/tex3] Analogamente para os outros lados e somando as 3 equações:
[tex3]\frac{PL}{AL}+\frac{PM}{BM}+\frac{PN}{CN}=3-\left(\frac{AP}{AL}+\frac{BP}{BM}+\frac{CP}{CN}\right) \Longrightarrow \frac{AP}{AL}+\frac{BP}{BM}+\frac{CP}{CN}=3-1=\boxed{2}[/tex3]
a) Sejam [tex3]d_a,[/tex3] [tex3]d_b,[/tex3] [tex3]d_c[/tex3] as distâncias do ponto P aos lados BC, AC e AB, respectivamente, e sejam [tex3]h_a,[/tex3] [tex3]h_b,[/tex3] [tex3]h_c[/tex3] as alturas do triângulo ABC relativas a esses mesmos lados.
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Analogamente para os outros lados e somando as equações:
[tex3]\frac{PL}{AL}+\frac{PM}{BM}+\frac{PN}{CN}=\frac{d_a}{h_a}+\frac{d_b}{h_b}+\frac{d_c}{h_c}.[/tex3]
Conforme demonstrado no lema da minha resolução deste tópico: viewtopic.php?f=3&t=106793 , a soma acima vale [tex3]\boxed{1}[/tex3] .
b) Temos [tex3]\frac{PL}{AL}=\frac{AL-AP}{AL}=1-\frac{AP}{AL}.[/tex3] Analogamente para os outros lados e somando as 3 equações:
[tex3]\frac{PL}{AL}+\frac{PM}{BM}+\frac{PN}{CN}=3-\left(\frac{AP}{AL}+\frac{BP}{BM}+\frac{CP}{CN}\right) \Longrightarrow \frac{AP}{AL}+\frac{BP}{BM}+\frac{CP}{CN}=3-1=\boxed{2}[/tex3]
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