Ensino Médio ⇒ Geometria plana Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Prove que uma reta desenhada passando pelo baricentro G de um triângulo ABC corta os lados AB e AC nos pontos M e N, respectivamente, de tal forma que

AM . NC + AN . MB = AM . NA

[Tassandro]

Zhadnyy,
Por áreas:
[tex3]\frac{AM}{AB} = \frac{[AMG]}{[ABG]}= \frac{[AMG]}{\frac13[ABC]}=\frac{3[AMG]}{[ABC]},\\\frac{AN}{AC}=\frac{3[ANG]}{[ABC]}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{AM}{AB} = \frac{[AMG]}{[ABG]}= \frac{[AMG]}{\frac13[ABC]}=\frac{3[AMG]}{[ABC]},\\\frac{AN}{AC}=\frac{3[ANG]}{[ABC]}
[/tex3]

Somando e usando que [tex3][AMG]+[ANG]=[AMN],[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][AMG]+[ANG]=[AMN],[/tex3]

vem que:
[tex3]\frac{AM}{AB} + \frac{AN}{AC}=\frac{3[AMN]}{[ABC]}=\frac{3\frac{AM}{AB}\frac{AN}{AC}[ABC]}{[ABC]}=3\frac{AM}{AB}\frac{AN}{AC}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{AM}{AB} + \frac{AN}{AC}=\frac{3[AMN]}{[ABC]}=\frac{3\frac{AM}{AB}\frac{AN}{AC}[ABC]}{[ABC]}=3\frac{AM}{AB}\frac{AN}{AC}
[/tex3]

Simplificando...
[tex3]AM\cdot AC + AN\cdot AB = 3AM\cdot AN
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AM\cdot AC + AN\cdot AB = 3AM\cdot AN
[/tex3]

Por fim, use que AC=AN+NC e AB=AM+MB, assim,
[tex3]\boxed{\boxed{AM\cdot NC + AN\cdot MB = AM\cdot AN
}}\\
\blacksquare[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{AM\cdot NC + AN\cdot MB = AM\cdot AN
}}\\
\blacksquare[/tex3]

[Deleted User 23699]

Aparentemente a propriedade não é válida se N ou M está no prolongamento dos lados citados...
Nesse caso, pelo meu desenho,
[tex3][AMG]+[ANG]=[AMN][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][AMG]+[ANG]=[AMN][/tex3]

é falso...

Se eu estiver correto,
tem que ter uma certa sorte no desenho...
Pois essas questões de colinearidade/concorrência geralmente consideram prolongamentos

[Tassandro]

Se eu estiver correto,
tem que ter uma certa sorte no desenho...

É verdade! Por isso que eu prefiro álgebra, não tem que desenhar nada!
O meu desenho foi esse:

20200521_211122.jpg (20.09 KiB) Exibido 609 vezes

[Deleted User 23699]

Tassandro

De onde você tirou que

[AMN] = AM AN [ABC] / AB AC ?

[Tassandro]

Zhadnyy,
O ângulo A é comum.
Usando a fórmula
[tex3][AMN]=\frac{AM\cdot AN\sen\hat A}{2}\\

[ABC]=\frac{AB\cdot AC\sen\hat A}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3][AMN]=\frac{AM\cdot AN\sen\hat A}{2}\\

[ABC]=\frac{AB\cdot AC\sen\hat A}{2}[/tex3]