Ensino Médio ⇒ Colinearidade Tópico resolvido
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Mai 2020
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Colinearidade
Prove que os três pares de tangentes externas comuns a três círculos, tomadas duas a duas, cortam-se em três pontos colineares.
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Mai 2020
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14:29
Re: Colinearidade
snooplammer
O enunciado é só isso...
Nos meus desenhos conclui que são círculos externos um ao outro, não tangentes e com raios diferentes. Mas posso estar enganado. Não consegui provar de nenhum jeito...
O enunciado é só isso...
Nos meus desenhos conclui que são círculos externos um ao outro, não tangentes e com raios diferentes. Mas posso estar enganado. Não consegui provar de nenhum jeito...
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Mai 2020
21
14:40
Re: Colinearidade
Zhadnyy,
Considere 2 círculos centrados em P e Q, tal que as duas retas tangentes comums a esses dois circulos se intersectam em T. Observe que [tex3]\triangle TSP\sim\triangle TRP[/tex3] e daí
[tex3]\frac{PT}{QT}=\frac{PR}{QS}=\frac{r_P}{r_Q},\text{ sendo }r_P\text{ e }r_Q\text{ os raios dos círculos}[/tex3] Usando o que acabamos de provar, note que:
[tex3]\frac{AC'}{C'B}\cdot \frac{BA'}{A'C}\cdot \frac{CB'}{B'A}=\frac{r_A}{r_B}\cdot \frac{r_B}{r_C}\cdot \frac{r_C}{r_A}=1
[/tex3]
Assim, pelo Teorema de Menelaus, as três retas são colineares.
Considere 2 círculos centrados em P e Q, tal que as duas retas tangentes comums a esses dois circulos se intersectam em T. Observe que [tex3]\triangle TSP\sim\triangle TRP[/tex3] e daí
[tex3]\frac{PT}{QT}=\frac{PR}{QS}=\frac{r_P}{r_Q},\text{ sendo }r_P\text{ e }r_Q\text{ os raios dos círculos}[/tex3] Usando o que acabamos de provar, note que:
[tex3]\frac{AC'}{C'B}\cdot \frac{BA'}{A'C}\cdot \frac{CB'}{B'A}=\frac{r_A}{r_B}\cdot \frac{r_B}{r_C}\cdot \frac{r_C}{r_A}=1
[/tex3]
Assim, pelo Teorema de Menelaus, as três retas são colineares.
Última edição: Tassandro (Qui 21 Mai, 2020 14:42). Total de 1 vez.
Dias de luta, dias de glória.
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