Ensino Médio ⇒ Colinearidade Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Prove que os três pares de tangentes externas comuns a três círculos, tomadas duas a duas, cortam-se em três pontos colineares.

[snooplammer]

Tem o desenho disso?

[Deleted User 23699]

snooplammer

O enunciado é só isso...
Nos meus desenhos conclui que são círculos externos um ao outro, não tangentes e com raios diferentes. Mas posso estar enganado. Não consegui provar de nenhum jeito...

[Tassandro]

Zhadnyy,
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Monge%27s_theorem
Acho que isso deve ajudar.

[Tassandro]

Zhadnyy,
Considere 2 círculos centrados em P e Q, tal que as duas retas tangentes comums a esses dois circulos se intersectam em T. Observe que [tex3]\triangle TSP\sim\triangle TRP[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle TSP\sim\triangle TRP[/tex3]

e daí
[tex3]\frac{PT}{QT}=\frac{PR}{QS}=\frac{r_P}{r_Q},\text{ sendo }r_P\text{ e }r_Q\text{ os raios dos círculos}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{PT}{QT}=\frac{PR}{QS}=\frac{r_P}{r_Q},\text{ sendo }r_P\text{ e }r_Q\text{ os raios dos círculos}[/tex3]

LJjoZ.png (37.89 KiB) Exibido 1241 vezes

Usando o que acabamos de provar, note que:
[tex3]\frac{AC'}{C'B}\cdot \frac{BA'}{A'C}\cdot \frac{CB'}{B'A}=\frac{r_A}{r_B}\cdot \frac{r_B}{r_C}\cdot \frac{r_C}{r_A}=1
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{AC'}{C'B}\cdot \frac{BA'}{A'C}\cdot \frac{CB'}{B'A}=\frac{r_A}{r_B}\cdot \frac{r_B}{r_C}\cdot \frac{r_C}{r_A}=1
[/tex3]

Assim, pelo Teorema de Menelaus, as três retas são colineares.

zWmdW.png (42.77 KiB) Exibido 1241 vezes