Ensino Médio ⇒ Matrizes

[Pedro900]

Dada a matriz A = (a_ij)_{2 × 2} tal que

20200520_150822-1.jpg (21.75 KiB) Exibido 324 vezes

Então A^2 é :

Resposta

---

a11 = 0 ; a12 = 1; a21= - 1; a22 = -1

[Deleted User 23699]

[tex3]A=\begin{pmatrix}
sen\left(\frac{w}{2}\right) & cos(w) \\
cos(2w) & sen(2w) \\
\end{pmatrix} \rightarrow A^2=\begin{pmatrix}
sen^2\left(\frac{w}{2}\right)+cos(w)cos(2w) & sen\left(\frac{w}{2}\right)cos(w)+cos(w)sen(w) \\
cos(2w)sen\left(\frac{w}{2}\right)+sen(w)cos(2w) & cos(w)cos(2w)+sen^2(w)\\
\end{pmatrix} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\begin{pmatrix}
sen\left(\frac{w}{2}\right) & cos(w) \\
cos(2w) & sen(2w) \\
\end{pmatrix} \rightarrow A^2=\begin{pmatrix}
sen^2\left(\frac{w}{2}\right)+cos(w)cos(2w) & sen\left(\frac{w}{2}\right)cos(w)+cos(w)sen(w) \\
cos(2w)sen\left(\frac{w}{2}\right)+sen(w)cos(2w) & cos(w)cos(2w)+sen^2(w)\\
\end{pmatrix} [/tex3]

Estou achando que a questão está faltando algum dado...
Se colocamos w = 60º, chegamos na resposta.
Se colocamos w = 30º, chegamos num valor diferente!

Pegando, por exemplo, o termo a11
[tex3]a11=sen^2\left(\frac{w}{2}\right)+cos(w)cos(2w) \rightarrow \frac{1-cos(w)}{2}+cos(w)[2cos^2(w)-1]\rightarrow \frac{1-cos(w)+4cos^3(w)-2cos(w)}{2}\\
\frac{4cos^3(w)-3cos(w)+1}{2} = a11[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a11=sen^2\left(\frac{w}{2}\right)+cos(w)cos(2w) \rightarrow \frac{1-cos(w)}{2}+cos(w)[2cos^2(w)-1]\rightarrow \frac{1-cos(w)+4cos^3(w)-2cos(w)}{2}\\
\frac{4cos^3(w)-3cos(w)+1}{2} = a11[/tex3]

Segundo o gabarito, a11 = 0

[tex3]\frac{4cos^3(w)-3cos(w)+1}{2} = 0\rightarrow 4cos^3(w)-3cos(w)+1=0\rightarrow 4x^3-3x+1=0 \\
4x^3-3x+1=4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\left(x+1\right) \rightarrow cos(w)=-1 \space ou \space cos(w)=\frac{1}{2} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4cos^3(w)-3cos(w)+1}{2} = 0\rightarrow 4cos^3(w)-3cos(w)+1=0\rightarrow 4x^3-3x+1=0 \\
4x^3-3x+1=4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\left(x+1\right) \rightarrow cos(w)=-1 \space ou \space cos(w)=\frac{1}{2} [/tex3]

Observe que resolvendo a expressão trigonométrica percebemos que apenas alguns valores de w justificam o gabarito

Logo, concluimos que está faltando informação para definir w!!!

[Pedro900]

Por isso não conseguiu fazer , mais o livro só deu essas informações que eu postei