Ensino Médio

Mensagem não lida por **Flavio2020** » 20 Mai 2020, 14:37

Dado o gráfico,calcule a área da região sombreada se BAC é um setor circular.

: f116.PNG (9.96 KiB) Exibido 250 vezes

a)[tex3]\frac{45}{2}[/tex3]
b)[tex3]\frac{45}{4}[/tex3]
c)[tex3]\frac{15}{2}[/tex3]
d)[tex3]\frac{15}{4}[/tex3]
e)[tex3]\frac{45}{7}[/tex3]

Resposta

b

Mensagem não lida por **rodBR** » 20 Mai 2020, 19:20

Olá Flavio2020, boa noite.

Solução:
Por Teo. Pit. no [tex3]\Delta BOC[/tex3] :
[tex3](BC)^2=2^2+6^2\\
(BC)^2=40\\
\boxed{BC=2\sqrt{10}}[/tex3]

Note que o [tex3]\Delta BOC[/tex3] é retângulo e tem seus lados da forma [tex3]k,\ 3k,\ k\sqrt{10}[/tex3] , então seus ângulos são [tex3]\(\frac{37^{\circ}}{2}°,\frac{143^{\circ}}{2},90^{\circ}\)[/tex3] . Daí, vem que [tex3]\angle BCA=\alpha=\frac{143^{\circ}}{2}[/tex3] (ângulo inscrito ), logo, o arco em vermelho corresponde a [tex3]143^{\circ}[/tex3] e o [tex3]arc(BC)=37^{\circ}[/tex3] , assim [tex3]\angle BAC=37^{\circ}[/tex3] (Ângulo Central).

Do [tex3]\Delta AHD[/tex3] :
[tex3]\sen(37^{\circ})=\frac{r}{AD}\\
\frac35=\frac{r}{AD}\\
\boxed{AD=\frac{5r}{3}}[/tex3]

Do [tex3]\Delta AOB[/tex3] :
[tex3]\sen(37^{\circ})=\frac{6}{\frac{5r}{3}+r}\\
\frac{3}{5}=\frac{6}{\frac{8r}{3}}\\
3\cdot\frac{8r}{3}=30\\
8r=30\\
\boxed{r=\frac{15}{4}}[/tex3]

Portanto, a área do [tex3]\Delta BDC[/tex3] :
[tex3]A_{\Delta BDC}=\frac{DB\cdot BC\cdot\sen\(\frac{143^{\circ}}{2}\)}{2}[/tex3] . Substituindo [tex3]DB=r=\frac{15}{4}[/tex3] , [tex3]BC=2\sqrt{10}[/tex3] e [tex3]\sen\(\frac{143^{\circ}}{2}\)=\frac{3}{\sqrt{10}}[/tex3] :
[tex3]A_{\Delta BDC}=\frac{\frac{15}{4}\cdot2\sqrt{10}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}}{2}\\
\boxed{\boxed{A_{\Delta BDC}=\frac{45}{4} \ u.a}}[/tex3]

: fig.png (14.32 KiB) Exibido 214 vezes

Obs.: Usei as aproximações para triangulos retângulos notáveis: viewtopic.php?t=78021

att>>rodBR

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