Obtenha a forma algébrica de
[tex3]\frac{6(cos 77 + i sen 77)}{3(cos 32 + isen32)}[/tex3]
Resposta
[tex3]\sqrt{2} + i\sqrt{2}[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Números complexos - forma algébrica Tópico resolvido
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Jonatancosta 
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Mai 2020
02
16:56
Números complexos - forma algébrica
Olá, boa tarde, alguém poderia dar uma luz de como eu posso resolver:
Obtenha a forma algébrica de
[tex3]\frac{6(cos 77 + i sen 77)}{3(cos 32 + isen32)}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2} + i\sqrt{2}[/tex3]
Obtenha a forma algébrica de
[tex3]\frac{6(cos 77 + i sen 77)}{3(cos 32 + isen32)}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2} + i\sqrt{2}[/tex3]
Jonatan Costa
Mai 2020
02
18:29
Re: Números complexos - forma algébrica
Boa noite.
Chame [tex3]\alpha = 77, \beta = 32[/tex3] .
Teremos [tex3]z=2\cdot \frac{\cis \alpha}{\cis \beta}[/tex3]
Perceba que temos um complexo de parte imaginária não-nula no denominador, então devemos racionalizar. Antes, vamos considerar a forma algébrica de cada um desses complexos:
[tex3]z_1=2\cdot \cis \alpha=a+bi\\z_2=\cis \beta=m+ni[/tex3]
Então: [tex3]z=\frac{a+bi}{m+ni}=\frac{a+bi}{m+ni}\cdot \(\frac{m-ni}{m-ni}\)=\frac{am+bn+i(bm-an)}{m^2+n^2}[/tex3]
Mas [tex3]m^2+n^2[/tex3] é ó módulo de [tex3]z_2\rightarrow m^2+n^2=1[/tex3]
Teremos apenas [tex3]am+bn+i(bm-an)[/tex3]
Perceba:
i) [tex3]am=2\cos \alpha \cos \beta[/tex3]
ii) [tex3]bn=2\sen \alpha \sen \beta[/tex3]
iii) [tex3]bm=2\sen \alpha \cos \beta[/tex3]
iv) [tex3]an=2\cos \alpha \sen \beta[/tex3]
Substitua:
[tex3]z=am+bn+i(bm-an)=2\cos \alpha \cos \beta+2\sen \alpha \sen \beta+i(2\sen \alpha \cos \beta-2\cos \alpha \sen \beta)\\
z=2\cos (\alpha - \beta)+2i\sen (\alpha-\beta)=\boxed{2\cis (\alpha - \beta)}[/tex3]
E agora? Agora ficou fácil, pois [tex3]\alpha = 77, \beta = 32[/tex3] :
[tex3]z=2(\cis (77-32))=2\cis 45º=2\cdot \frac{\sqrt 2}{2}+2\cdot i\cdot \frac{\sqrt 2}{2}=\boxed{\sqrt 2 + \sqrt 2 \cdot i}[/tex3]
Chame [tex3]\alpha = 77, \beta = 32[/tex3] .
Teremos [tex3]z=2\cdot \frac{\cis \alpha}{\cis \beta}[/tex3]
Perceba que temos um complexo de parte imaginária não-nula no denominador, então devemos racionalizar. Antes, vamos considerar a forma algébrica de cada um desses complexos:
[tex3]z_1=2\cdot \cis \alpha=a+bi\\z_2=\cis \beta=m+ni[/tex3]
Então: [tex3]z=\frac{a+bi}{m+ni}=\frac{a+bi}{m+ni}\cdot \(\frac{m-ni}{m-ni}\)=\frac{am+bn+i(bm-an)}{m^2+n^2}[/tex3]
Mas [tex3]m^2+n^2[/tex3] é ó módulo de [tex3]z_2\rightarrow m^2+n^2=1[/tex3]
Teremos apenas [tex3]am+bn+i(bm-an)[/tex3]
Perceba:
i) [tex3]am=2\cos \alpha \cos \beta[/tex3]
ii) [tex3]bn=2\sen \alpha \sen \beta[/tex3]
iii) [tex3]bm=2\sen \alpha \cos \beta[/tex3]
iv) [tex3]an=2\cos \alpha \sen \beta[/tex3]
Substitua:
[tex3]z=am+bn+i(bm-an)=2\cos \alpha \cos \beta+2\sen \alpha \sen \beta+i(2\sen \alpha \cos \beta-2\cos \alpha \sen \beta)\\
z=2\cos (\alpha - \beta)+2i\sen (\alpha-\beta)=\boxed{2\cis (\alpha - \beta)}[/tex3]
E agora? Agora ficou fácil, pois [tex3]\alpha = 77, \beta = 32[/tex3] :
[tex3]z=2(\cis (77-32))=2\cis 45º=2\cdot \frac{\sqrt 2}{2}+2\cdot i\cdot \frac{\sqrt 2}{2}=\boxed{\sqrt 2 + \sqrt 2 \cdot i}[/tex3]
Última edição: mcarvalho (Sáb 02 Mai, 2020 18:47). Total de 2 vezes.
"Dizem que não existe almoço grátis. Mas o universo é o derradeiro almoço grátis"
Alan Guth
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Jonatancosta
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Mai 2020
02
20:27
Re: Números complexos - forma algébrica
Desculpe, não entendi ainda de onde vieram essas deduções... obrigado!!!!
Jonatan Costa
Mai 2020
02
20:45
Re: Números complexos - forma algébrica
Lembre-se que fizemos [tex3]z_1=2\cdot \cis \alpha=2\cdot (\cos \alpha + i\cdot \sen \alpha)[/tex3]
e [tex3]z_2= \cis \beta=\cos \beta+ i\cdot \sen \beta[/tex3]
Mas isso é a forma trigonométrica. A forma algébrica genérica de um complexo [tex3]w[/tex3] qualquer é [tex3]w=x+yi[/tex3] . Foi o que fizemos: definimos uma forma algébrica genérica para [tex3]z_1[/tex3] e [tex3]z_2[/tex3] , já que não conhecemos seus valores propriamente ditos.
Então: [tex3]z_1=a+bi[/tex3]
Comparando a forma algébrica de [tex3]z_1[/tex3] com a trigonométrica, temos: [tex3]a+bi=2\cdot (\cos \alpha + i\cdot \sen \alpha)[/tex3]
Comparando a parte imaginária dessa equação (que vem acompanhada de [tex3]i[/tex3] ), temos [tex3]a=2\cdot \cos \alpha[/tex3] .
Comparando a parte real: [tex3]b=\sen \alpha[/tex3] .
O raciocínio é o mesmo para [tex3]z_2[/tex3] .
Veja se ficou claro.
Mas isso é a forma trigonométrica. A forma algébrica genérica de um complexo [tex3]w[/tex3] qualquer é [tex3]w=x+yi[/tex3] . Foi o que fizemos: definimos uma forma algébrica genérica para [tex3]z_1[/tex3] e [tex3]z_2[/tex3] , já que não conhecemos seus valores propriamente ditos.
Então: [tex3]z_1=a+bi[/tex3]
Comparando a forma algébrica de [tex3]z_1[/tex3] com a trigonométrica, temos: [tex3]a+bi=2\cdot (\cos \alpha + i\cdot \sen \alpha)[/tex3]
Comparando a parte imaginária dessa equação (que vem acompanhada de [tex3]i[/tex3] ), temos [tex3]a=2\cdot \cos \alpha[/tex3] .
Comparando a parte real: [tex3]b=\sen \alpha[/tex3] .
O raciocínio é o mesmo para [tex3]z_2[/tex3] .
Veja se ficou claro.
"Dizem que não existe almoço grátis. Mas o universo é o derradeiro almoço grátis"
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Jonatancosta
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Mai 2020
02
22:55
Re: Números complexos - forma algébrica
Fantástico, mcarvalho. Agora sim, entendi tudo, agradeço pela ajuda! Abraço.
Jonatan Costa
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