Teorema I:
Se [tex3]x,y\in\mathbb R^*_+;p,q\in\mathbb Z^*[/tex3]
, sendo [tex3]x+y=k[/tex3]
uma constante, então [tex3]x^p+y^q[/tex3]
é máximo quando [tex3]\frac xp=\frac yq[/tex3]
Prova:
[tex3]x+y=k\implies y=k-x\\
f(x)=x^p(k-x)^q\\
f'(x)=px^{p-1}(k-x)^q+qx^p(k-x)^{q-1}(-1)=0\implies \frac xp=\frac{k-x}q\implies \frac xp=\frac yq\space\space\blacksquare[/tex3]
Pois ao igualarmos a derivada de uma função a 0 encontramos os seus pontos extremantes.
Aplicação:
Seja a superfície total de um cilindro igual a [tex3]2πR+2πRh=4πl^2,[/tex3]
sendo l uma constante. Determine R e h tal que o volume V do cilindro é máximo.
Solução:
[tex3]V=πR^2h\text{ é máximo}\iff R^2h\text{ é máximo}\iff (R^2h)^2\text{ é máximo}\implies\\
(R^2h)^2=(R^2)^1(Rh)^2\implies\\
V_{máx}\iff \frac{R^2}{1}=\frac{Rh}{2}\implies\\
R^2+2R^2=2l^2\implies R=\frac{l\sqrt6}{3}\implies h=2\frac{l\sqrt6}{3}[/tex3]
Teorema II:
Se [tex3]x,y\in\mathbb R^*_+,p,q\in\mathbb Z^*[/tex3]
e [tex3]xy=k[/tex3]
é uma constante, [tex3]x^p+y^q[/tex3]
é mínimo quando [tex3]px^p=qy^q.[/tex3]
Prova:
[tex3]xy=k\implies y=\frac kx\\
f(x)=x^p+\(\frac kx\)^q\implies\\
f'(x)=px^{p-1}+k^q(-q)x^{-(q+1)}\implies px^p=q\(\frac kx\)^q=qy^q\space\space\blacksquare [/tex3]
Aplicação:
De todos os cilindros equivalentes (de mesmo volume), determine o raio e a altura daquele de menor superfície.
Solução:
Seja V este volume:
[tex3]V=πR^2h\implies R\cdot Rh=\frac{V}{π}[/tex3]
Superfície total:
[tex3]S_T/2πR^2+2πRh=2π(R^2+Rh)\implies R^2+Rh=\frac{S_T}{2π}[/tex3]
Assim, [tex3]S_T[/tex3]
é mínimo se [tex3]2R^2=1\cdot(Rh)^1\implies h=2R\implies \\
R^2h=2R^3=\frac Vπ\implies R=\sqrt[3]{\frac{V}{2π}}\implies h=2\sqrt[3]{\frac{V}{2π}}[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Demonstração - Otimização de cilindros
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