Ensino Médio ⇒ Trigonometria - Razões e relações trigonométricas Tópico resolvido

[florestinha89]

Mostre que cossec [tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

pode ser escrito como:

cotg [tex3]\alpha + \left(\frac{sen\alpha }{1+cos\alpha }\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha + \left(\frac{sen\alpha }{1+cos\alpha }\right)[/tex3]

Tentei resolver assim:
[tex3]cotg^{2}\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cotg^{2}\alpha [/tex3]

+ 1 = [tex3]cossec^{2}\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cossec^{2}\alpha [/tex3]

[tex3]\left(\frac{cos\alpha *cos\alpha }{sen\alpha *\sen\alpha }\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{cos\alpha *cos\alpha }{sen\alpha *\sen\alpha }\right)[/tex3]

+ 1 = cossec [tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

*cossec [tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

cotg [tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

*[tex3]\left(\frac{cos\alpha }{sen\alpha }\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{cos\alpha }{sen\alpha }\right)[/tex3]

+ 1 = [tex3]\left(\frac{1}{sen\alpha }\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{1}{sen\alpha }\right)[/tex3]

*cossec [tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

e chego em cotg [tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

*cos [tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

+ sen [tex3]\alpha [/tex3]

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[tex3]\alpha [/tex3]

= cossec [tex3]\alpha \alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha \alpha [/tex3]

Mas não chegou no que se pede. Não sei onde estou me perdendo

[MateusQqMD]

Olá, florestinha89.

Irei manipular [tex3]\cotg \alpha + \frac{\sen \alpha}{ \cos \alpha +1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cotg \alpha + \frac{\sen \alpha}{ \cos \alpha +1}[/tex3]

para tentar chegar em [tex3]\cossec \alpha,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cossec \alpha,[/tex3]

ok?

Usaremos que

[tex3]\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1[/tex3]

(relação fundamental da trigonometria).

Note que [tex3]\cotg \alpha + \frac{\sen \alpha}{ \cos \alpha +1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cotg \alpha + \frac{\sen \alpha}{ \cos \alpha +1}[/tex3]

pode ser escrito como [tex3]\frac{\cos \alpha}{\sen \alpha} + \frac{\sen \alpha}{\cos \alpha +1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\cos \alpha}{\sen \alpha} + \frac{\sen \alpha}{\cos \alpha +1}[/tex3]

e realizando a adição de frações, obtemos

[tex3]\begin{align}\frac{\cos \alpha}{\sen \alpha} + \frac{\sen \alpha}{\cos \alpha +1} & = \frac{(\cos \alpha +1)\cos \alpha}{(\cos \alpha +1)\sen\alpha} + \frac{\sen \alpha \cdot \sen \alpha}{\sen \alpha (\cos \alpha +1)} \\⠀\\ & = \frac{(\cos \alpha +1)\cos \alpha + \sen \alpha \cdot \sen \alpha}{(\cos \alpha +1)\sen\alpha} \\⠀\\ & = \frac{\cos \alpha + \overbrace{\cos^2\alpha + \sen^2 \alpha }^{ 1 }}{(\cos \alpha +1)\sen\alpha} \\⠀\\ & = \frac{ \cos \alpha +1}{(\cos \alpha +1)\sen\alpha} = \frac{1}{\sen \alpha}. \end{align}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{align}\frac{\cos \alpha}{\sen \alpha} + \frac{\sen \alpha}{\cos \alpha +1} & = \frac{(\cos \alpha +1)\cos \alpha}{(\cos \alpha +1)\sen\alpha} + \frac{\sen \alpha \cdot \sen \alpha}{\sen \alpha (\cos \alpha +1)} \\⠀\\ & = \frac{(\cos \alpha +1)\cos \alpha + \sen \alpha \cdot \sen \alpha}{(\cos \alpha +1)\sen\alpha} \\⠀\\ & = \frac{\cos \alpha + \overbrace{\cos^2\alpha + \sen^2 \alpha }^{ 1 }}{(\cos \alpha +1)\sen\alpha} \\⠀\\ & = \frac{ \cos \alpha +1}{(\cos \alpha +1)\sen\alpha} = \frac{1}{\sen \alpha}. \end{align}[/tex3]

[MateusQqMD]

Veja se ficou claro.

Caso tenha dúvida em alguma passagem, pode mandar aqui.

[florestinha89]

Olá, florestinha89.

Irei manipular [tex3]\cotg \alpha + \frac{\sen \alpha}{ \cos \alpha +1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cotg \alpha + \frac{\sen \alpha}{ \cos \alpha +1}[/tex3]

para tentar chegar em [tex3]\cossec \alpha,[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cossec \alpha,[/tex3]

ok?

Usaremos que

[tex3]\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1[/tex3]

(relação fundamental da trigonometria).

Note que [tex3]\cotg \alpha + \frac{\sen \alpha}{ \cos \alpha +1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cotg \alpha + \frac{\sen \alpha}{ \cos \alpha +1}[/tex3]

pode ser escrito como [tex3]\frac{\cos \alpha}{\sen \alpha} + \frac{\sen \alpha}{\cos \alpha +1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\cos \alpha}{\sen \alpha} + \frac{\sen \alpha}{\cos \alpha +1}[/tex3]

e realizando a adição de frações, obtemos

[tex3]\begin{align}\frac{\cos \alpha}{\sen \alpha} + \frac{\sen \alpha}{\cos \alpha +1} & = \frac{(\cos \alpha +1)\cos \alpha}{(\cos \alpha +1)\sen\alpha} + \frac{\sen \alpha \cdot \sen \alpha}{\sen \alpha (\cos \alpha +1)} \\⠀\\ & = \frac{(\cos \alpha +1)\cos \alpha + \sen \alpha \cdot \sen \alpha}{(\cos \alpha +1)\sen\alpha} \\⠀\\ & = \frac{\cos \alpha + \overbrace{\cos^2\alpha + \sen^2 \alpha }^{ 1 }}{(\cos \alpha +1)\sen\alpha} \\⠀\\ & = \frac{ \cos \alpha +1}{(\cos \alpha +1)\sen\alpha} = \frac{1}{\sen \alpha}. \end{align}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{align}\frac{\cos \alpha}{\sen \alpha} + \frac{\sen \alpha}{\cos \alpha +1} & = \frac{(\cos \alpha +1)\cos \alpha}{(\cos \alpha +1)\sen\alpha} + \frac{\sen \alpha \cdot \sen \alpha}{\sen \alpha (\cos \alpha +1)} \\⠀\\ & = \frac{(\cos \alpha +1)\cos \alpha + \sen \alpha \cdot \sen \alpha}{(\cos \alpha +1)\sen\alpha} \\⠀\\ & = \frac{\cos \alpha + \overbrace{\cos^2\alpha + \sen^2 \alpha }^{ 1 }}{(\cos \alpha +1)\sen\alpha} \\⠀\\ & = \frac{ \cos \alpha +1}{(\cos \alpha +1)\sen\alpha} = \frac{1}{\sen \alpha}. \end{align}[/tex3]

Só tem um problema, você chega em [tex3]\left(\frac{cos\alpha + 1}{(cos\alpha + 1)sen\alpha }\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{cos\alpha + 1}{(cos\alpha + 1)sen\alpha }\right)[/tex3]

e o exercício pede pra chegar em cotg [tex3]\alpha + \left(\frac{sen\alpha }{1 + cos\alpha }\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha + \left(\frac{sen\alpha }{1 + cos\alpha }\right)[/tex3]

Já me ajudou um pouco pq realmente é bem mais prático da maneira que vc fez pela relação fundamental, mas mesmo assim não consegui chegar no gabarito. De qualquer forma, agradeço

[petras]

florestinha89,
""Só tem um problema, você chega em [tex3]\left(\frac{cos\alpha + 1}{(cos\alpha + 1)sen\alpha }\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{cos\alpha + 1}{(cos\alpha + 1)sen\alpha }\right)[/tex3]

e o exercício pede pra chegar em [tex3]cotg \alpha +\left(\frac{sen\alpha }{1 + cos\alpha }\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]cotg \alpha +\left(\frac{sen\alpha }{1 + cos\alpha }\right)[/tex3]

""

O Mateus chegou em [tex3]\frac{1}{sen\alpha }=cossec \alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{sen\alpha }=cossec \alpha [/tex3]

que é o que o exercício pede.

[florestinha89]

petras, é verdade, desculpe você está certo. Não lembrava que ele partiu da forma a ser escrita para chegar a cossecante e eu estou fazendo o contrário. Porém, mesmo assim não consigo entender como [tex3]\left(\frac{cos\alpha + 1}{(cos\alpha + 1)sen\alpha }\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{cos\alpha + 1}{(cos\alpha + 1)sen\alpha }\right)[/tex3]

se torna [tex3]\frac{1}{sen\alpha } [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{sen\alpha } [/tex3]

[mcarvalho]

Simplifique: [tex3]\left(\frac{cos\alpha + 1}{(cos\alpha + 1)sen\alpha }\right)=\frac{\cos \alpha +1}{(\cos \alpha + 1)\cdot \sen \alpha}=\(\frac{\cos \alpha + 1}{\cos \alpha +1}\)\cdot \frac{1}{\sen \alpha}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{cos\alpha + 1}{(cos\alpha + 1)sen\alpha }\right)=\frac{\cos \alpha +1}{(\cos \alpha + 1)\cdot \sen \alpha}=\(\frac{\cos \alpha + 1}{\cos \alpha +1}\)\cdot \frac{1}{\sen \alpha}[/tex3]

Edit: outra possibilidade é multiplicar a fração pelo conjugado [tex3]\frac{\cos \alpha -1}{\cos \alpha -1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\cos \alpha -1}{\cos \alpha -1}[/tex3]

, mas você vai literalmente chover no molhado, andar em círculos, dar mais voltas desnecessárias.

[florestinha89]

Simplifique: [tex3]\left(\frac{cos\alpha + 1}{(cos\alpha + 1)sen\alpha }\right)=\frac{\cos \alpha +1}{(\cos \alpha + 1)\cdot \sen \alpha}=\(\frac{\cos \alpha + 1}{\cos \alpha +1}\)\cdot \frac{1}{\sen \alpha}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{cos\alpha + 1}{(cos\alpha + 1)sen\alpha }\right)=\frac{\cos \alpha +1}{(\cos \alpha + 1)\cdot \sen \alpha}=\(\frac{\cos \alpha + 1}{\cos \alpha +1}\)\cdot \frac{1}{\sen \alpha}[/tex3]

Edit: outra possibilidade é multiplicar a fração pelo conjugado [tex3]\frac{\cos \alpha -1}{\cos \alpha -1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\cos \alpha -1}{\cos \alpha -1}[/tex3]

, mas você vai literalmente chover no molhado, andar em círculos, dar mais voltas desnecessárias.

Agora sim entendi, desculpa realmente parece simples mas não consegui visualizar. Super obrigada!!