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Quais os valores de [tex3]p[/tex3]

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[tex3]p[/tex3]

que tornam a reta [tex3]x+y+p=0[/tex3]

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[tex3]x+y+p=0[/tex3]

tangente a circunferência de equação cartesiana [tex3]x^{2}+y^{2}=25[/tex3]

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[tex3]x^{2}+y^{2}=25[/tex3]

?

vinicius18,
Se a reta será tangente à circunferência, isso significa que ela terá um ponto em comum à circunferência.
Assim,
[tex3]y=-x-p,\\
y=\sqrt{25-x^2}\implies-x-p=\sqrt{25-x^2}\\\rightarrow x^2+2xp+p^2=25-x^2\\
\rightarrow 2x^2+2px+p^2-25=0\\
Δ=0\rightarrow 4p^2-4×2(p^2-25)=0\rightarrow 4p^2=8×25\rightarrow p^2=50\\
\therefore p=\pm5\sqrt2[/tex3]

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[tex3]y=-x-p,\\
y=\sqrt{25-x^2}\implies-x-p=\sqrt{25-x^2}\\\rightarrow x^2+2xp+p^2=25-x^2\\
\rightarrow 2x^2+2px+p^2-25=0\\
Δ=0\rightarrow 4p^2-4×2(p^2-25)=0\rightarrow 4p^2=8×25\rightarrow p^2=50\\
\therefore p=\pm5\sqrt2[/tex3]

Não consegui chegar ao gabarito. Se eu tiver errado algo, corrigam-me.

Se fizer a distância do ponto à reta, acho que também dá.
R= d(O, T) onde T é o ponto de tangencia onde passa a reta é O o centro do círculo.

Você tá certo, Tassandro. Eu que botei o gabarito errado. Obrigado pela solução.