Ensino Médio

A equação da reta tangente a circunferência [tex3](x-3)^{2}+ (y-2)^{2}=25[/tex3] no ponto [tex3](6,6)[/tex3] é:

Resposta

[tex3]4y+3x-42=0[/tex3]

Olá, vinicius18.

A equação da reta [tex3]r[/tex3] que passa pelo centro da circunferência e pelo ponto P é

[tex3]r:\begin{vmatrix}
3 & 2 \\
6 & 6 \\
x & y \\
3 & 2 \\
\end{vmatrix}=0\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\, r:\, 4x-3y-6=0.[/tex3]

Sabemos, também, que a reta [tex3]s[/tex3] tangente à circunferência é perpendicular à reta [tex3]r,[/tex3] de maneira que o produto de seus coeficientes angulares é [tex3]-1:[/tex3]

[tex3]m_r \cdot m_s = -1 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \frac{4}{3} \cdot m_s = -1[/tex3]

[tex3]\therefore \,\,\, m_s = -\frac{3}{4}.[/tex3]

Por fim, a equação da reta [tex3]s[/tex3] é

[tex3]y - y_0 = m_s \( x - x_0 \) \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, y - 6 = -\frac{3}{4}(x - 6)[/tex3]

[tex3]\therefore \,\,\,s: \, 4y+3x-42=0.[/tex3]

Mensagem não lidapor **petras** » Seg 06 Abr, 2020 17:12 · Mensagem não lida por **petras** » Seg 06 Abr, 2020 17:12

vinicius18,
O ponto (6,6) pertence a C: [tex3](6-3)^2+(6-2)^2=3^2+4^2=9+16 = 25[/tex3]

Reta que passa por (6,6): [tex3]y-y_0=m(x-x_0)\rightarrow y-6 = m(x-6)\rightarrow y-mx+6m-6=0(I)\\
d_{c,reta}=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-m.3+1.2+6m-6|}{\sqrt{-m^2+1^2}}=raio\\
\frac{|-3m+2+6m-6|}{\sqrt{m^2+1}}=5\rightarrow {3m-4}=5\sqrt{m^2+1}\rightarrow \\
9m^2-24m+16 = 25(m^2+1)\rightarrow 9m^2-24m+16-25m^2-25=0\rightarrow \\
-16m^2-24m-9=0\rightarrow m = -\frac{3}{4}\\
Substituindo~em~I:y-(-\frac{3x}{4})+6.(-\frac{3}{4})-6=0\\
y+\frac{3x}{4}-\frac{21}{2}=0(x4)\rightarrow \boxed{4y+3x-42=0}[/tex3]

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