Ensino MédioSistema logaritmo Tópico resolvido

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jeabud
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Sistema logaritmo

Mensagem não lida por jeabud »

Resolva:
[tex3]\begin{cases}
2x^{y}-x^{-y} = 1\\
\log _{{2}}y=\sqrt{X}
\end{cases}[/tex3]
Gab: (1,2)




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Planck
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Re: Sistema logaritmo

Mensagem não lida por Planck »

Olá, jeabud.

Podemos fazer que [tex3]x^y = m; ~ x^{-y} = \frac{1}{m}[/tex3] :

[tex3]2m - \frac{1}{m} = 1 \implies 2m^2 - m-1 =0 \implies \begin{cases}
m =1 \\
m = -\frac{1}{2}\end{cases}[/tex3]

Se [tex3]m = 1[/tex3] , [tex3]x^y = 1 \implies y=0 [/tex3] , mas, não podemos ter [tex3]\log_2 y[/tex3] se [tex3]y = 0[/tex3] , então [tex3]x[/tex3] precisa ser [tex3]1[/tex3] . Agora, [tex3]
\log_2 y = \sqrt 1 \implies y =2[/tex3] .

Vamos fazer um teste com [tex3]m = -\frac{1}{2}[/tex3] . Desse modo, [tex3]x^y = -\frac{1}{2}[/tex3] , isso só é possível se [tex3]x<0[/tex3] e [tex3]y[/tex3] for ímpar. Mas, se [tex3]x<0[/tex3] , [tex3]\log_2 y = \sqrt x \implies y = 2^{i \cdot x}[/tex3] e, sinceramente, só vi isso no canal de matemática blackpenredpen. Não acredito que seja “trivial”. Portanto, ficamos com a primeira solução.
Curiosidade

[tex3]2^i = e^{i \ln 2} = \cos \( \ln 2 \) + i \sin \( \ln 2 \) \approx 0,78 + 0,64i[/tex3]

Última edição: Planck (Qui 02 Abr, 2020 19:20). Total de 2 vezes.



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Re: Sistema logaritmo

Mensagem não lida por jeabud »

Planck, até nessa parte aqui ok....se y = 0, o log n existirá.

Dai pra x^y = 1 ... vc considerou o x = 1, pra existir o log...

Mas n entendi o porque q chamou x = 1....essa parte q estou viajando =/...
Última edição: jeabud (Sex 03 Abr, 2020 21:12). Total de 3 vezes.



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Abr 2020 03 21:20

Re: Sistema logaritmo

Mensagem não lida por Planck »

jeabud escreveu:
Sex 03 Abr, 2020 21:08
Planck, até nessa parte aqui ok....se y = 0, o log n existirá.

Dai pra x^y = 1 ... vc considerou o x = 1, pra existir o log...

Mas n entendi o porque q chamou x = 1....essa parte q estou viajando =/...
A única possibilidade de uma potência resultar em [tex3]1[/tex3] é o expoente ser nulo ou a base ser [tex3]1.[/tex3] Acho que abreviei muito a resolução, se tiver mais alguma dúvida, só perguntar.



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Re: Sistema logaritmo

Mensagem não lida por jeabud »

Planck, posso fazer essa questão assim tb? tentei fazer de outra maneira, cheguei no mesmo resultado, mas n sei se pensei certo..=D
1.jpg
1.jpg (16.65 KiB) Exibido 53 vezes
t' = 1 ou t'' = -1/2
2.jpg
2.jpg (16.85 KiB) Exibido 53 vezes
vlw
Última edição: jeabud (Ter 07 Abr, 2020 20:43). Total de 1 vez.



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Abr 2020 07 20:59

Re: Sistema logaritmo

Mensagem não lida por Planck »

Esse também é um modo válido, o cuidado é na hora das substituições e verificações.



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Re: Sistema logaritmo

Mensagem não lida por jeabud »

Planck, na verdade esqueci de jogar no sistema "original", fui só pela condição de existência..melhor testar nos 3 ou so sistema original? grato pela ajuda e atenção

Última edição: jeabud (Qua 08 Abr, 2020 11:15). Total de 1 vez.



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