Ensino MédioComparação de um número real com as raízes da equação do 2ª grau Tópico resolvido

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biancavaldez
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Mar 2020 25 17:53

Comparação de um número real com as raízes da equação do 2ª grau

Mensagem não lida por biancavaldez »

Determinar m de modo que a equação (m-1)x²-mx-2m-2=0 tenha raízes reais tais que -1<x1<x2

Resposta

m<-2√2/3




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Planck
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Mar 2020 25 19:15

Re: Comparação de um número real com as raízes da equação do 2ª grau

Mensagem não lida por Planck »

Olá, biancavaldez.

Pelo enunciado, podemos inferir que [tex3]x_1 \ne x_2[/tex3] , ou seja, o valor do [tex3]\Delta[/tex3] precisa ser maior que zero. Portanto, podemos fazer que:

[tex3]\Delta = m^2 - 4\cdot(m-1) \cdot (-2m -2 ) >0 \implies 9m^2 - 8 > 0[/tex3]

Desse modo, o conjunto solução da inequação para [tex3]\Delta > 0[/tex3] fornecerá os valores para [tex3]x_1 \ne x_2[/tex3] :

[tex3]9m^2 > 8 \implies m > \frac{2 \sqrt 2}{3},~m< \frac{-2\sqrt 2}{3}[/tex3]

Agora, se [tex3]m > 0[/tex3] , a função tem concavidade para baixo e o coeficiente [tex3]b< 0[/tex3] , além disso, o coeficiente [tex3]c < 0[/tex3] , isso garante que a função intersecta o eixo [tex3]y[/tex3] no trecho decrescente, ou seja, os valores para a imagem diminuem, enquanto os valores para o domínio aumentam. No entanto, a parábola não é simétrica ao eixo [tex3]y[/tex3] , logo, pelo menos uma das raízes será menor que [tex3]-1[/tex3] .

Por outro lado, se [tex3]m < 0[/tex3] , a função continua tendo concavidade para baixo e o coeficiente [tex3]b>0[/tex3] e, novamente, o coeficiente [tex3]c<0[/tex3] . Isso garante que a função intersecta o eixo [tex3]y[/tex3] na parte crescente da função, ou seja, antes do vértice e, como a função não é simétrica em relação ao eixo [tex3]y[/tex3] , haverá raízes maiores que [tex3]-1[/tex3] , ambas, nesse caso.

É possível que haja uma interpretação mais fácil para termos [tex3]m < \frac{-2 \sqrt 2}{3}[/tex3] . Talvez o petras possa ajudar.

Última edição: Planck (Qua 25 Mar, 2020 19:17). Total de 1 vez.



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petras
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Mar 2020 25 20:33

Re: Comparação de um número real com as raízes da equação do 2ª grau

Mensagem não lida por petras »

biancavaldez,
Verificando as condições:
[tex3]\mathsf{\Delta >0\rightarrow m <- \frac{2\sqrt{2}}{3}~ou ~m>\frac{2\sqrt{2}}{3}(I)\\
a.f(-1)>0\rightarrow (m-1)((m-1)+m-2m-2))\rightarrow (m-1)(-3)\rightarrow \\
-3m+3>0\rightarrow m< 1(II)\\
\frac{S}{2}>-1\rightarrow \frac{m}{2(m-1)}>-1\rightarrow \frac{m}{2m-2} +1 > 0\rightarrow \frac{3m-2}{2m-2}>0\rightarrow m<\frac{2}{3}~ou ~m > 1(III)\\
(I)\cap (II)\cap (III)\rightarrow \boxed{\color{red}m < -\frac{2\sqrt{3}}{2}}}[/tex3]




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