Comparação de um número real com as raízes da equação do 2ª grau
Enviado: Qua 25 Mar, 2020 17:53
Determinar m de modo que a equação (m-1)x²-mx-2m-2=0 tenha raízes reais tais que -1<x1<x2
m<-2√2/3
Resposta
Pelo enunciado, podemos inferir que [tex3]x_1 \ne x_2[/tex3] , ou seja, o valor do [tex3]\Delta[/tex3] precisa ser maior que zero. Portanto, podemos fazer que:
[tex3]\Delta = m^2 - 4\cdot(m-1) \cdot (-2m -2 ) >0 \implies 9m^2 - 8 > 0[/tex3]
Desse modo, o conjunto solução da inequação para [tex3]\Delta > 0[/tex3] fornecerá os valores para [tex3]x_1 \ne x_2[/tex3] :
[tex3]9m^2 > 8 \implies m > \frac{2 \sqrt 2}{3},~m< \frac{-2\sqrt 2}{3}[/tex3]
Agora, se [tex3]m > 0[/tex3] , a função tem concavidade para baixo e o coeficiente [tex3]b< 0[/tex3] , além disso, o coeficiente [tex3]c < 0[/tex3] , isso garante que a função intersecta o eixo [tex3]y[/tex3] no trecho decrescente, ou seja, os valores para a imagem diminuem, enquanto os valores para o domínio aumentam. No entanto, a parábola não é simétrica ao eixo [tex3]y[/tex3] , logo, pelo menos uma das raízes será menor que [tex3]-1[/tex3] .
Por outro lado, se [tex3]m < 0[/tex3] , a função continua tendo concavidade para baixo e o coeficiente [tex3]b>0[/tex3] e, novamente, o coeficiente [tex3]c<0[/tex3] . Isso garante que a função intersecta o eixo [tex3]y[/tex3] na parte crescente da função, ou seja, antes do vértice e, como a função não é simétrica em relação ao eixo [tex3]y[/tex3] , haverá raízes maiores que [tex3]-1[/tex3] , ambas, nesse caso.
É possível que haja uma interpretação mais fácil para termos [tex3]m < \frac{-2 \sqrt 2}{3}[/tex3] . Talvez o petras possa ajudar.