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Ensino Médio ⇒ Comparação de um número real com as raízes da equação do 2ª grau Tópico resolvido
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Mar 2020
25
17:53
Comparação de um número real com as raízes da equação do 2ª grau
Determinar m de modo que a equação (m-1)x²-mx-2m-2=0 tenha raízes reais tais que -1<x1<x2
m<-2√2/3
Mar 2020
25
19:15
Re: Comparação de um número real com as raízes da equação do 2ª grau
Olá, biancavaldez.
Pelo enunciado, podemos inferir que [tex3]x_1 \ne x_2[/tex3] , ou seja, o valor do [tex3]\Delta[/tex3] precisa ser maior que zero. Portanto, podemos fazer que:
Desse modo, o conjunto solução da inequação para [tex3]\Delta > 0[/tex3] fornecerá os valores para [tex3]x_1 \ne x_2[/tex3] :
Agora, se [tex3]m > 0[/tex3] , a função tem concavidade para baixo e o coeficiente [tex3]b< 0[/tex3] , além disso, o coeficiente [tex3]c < 0[/tex3] , isso garante que a função intersecta o eixo [tex3]y[/tex3] no trecho decrescente, ou seja, os valores para a imagem diminuem, enquanto os valores para o domínio aumentam. No entanto, a parábola não é simétrica ao eixo [tex3]y[/tex3] , logo, pelo menos uma das raízes será menor que [tex3]-1[/tex3] .
Por outro lado, se [tex3]m < 0[/tex3] , a função continua tendo concavidade para baixo e o coeficiente [tex3]b>0[/tex3] e, novamente, o coeficiente [tex3]c<0[/tex3] . Isso garante que a função intersecta o eixo [tex3]y[/tex3] na parte crescente da função, ou seja, antes do vértice e, como a função não é simétrica em relação ao eixo [tex3]y[/tex3] , haverá raízes maiores que [tex3]-1[/tex3] , ambas, nesse caso.
É possível que haja uma interpretação mais fácil para termos [tex3]m < \frac{-2 \sqrt 2}{3}[/tex3] . Talvez o petras possa ajudar.
Pelo enunciado, podemos inferir que [tex3]x_1 \ne x_2[/tex3] , ou seja, o valor do [tex3]\Delta[/tex3] precisa ser maior que zero. Portanto, podemos fazer que:
[tex3]\Delta = m^2 - 4\cdot(m-1) \cdot (-2m -2 ) >0 \implies 9m^2 - 8 > 0[/tex3]
Desse modo, o conjunto solução da inequação para [tex3]\Delta > 0[/tex3] fornecerá os valores para [tex3]x_1 \ne x_2[/tex3] :
[tex3]9m^2 > 8 \implies m > \frac{2 \sqrt 2}{3},~m< \frac{-2\sqrt 2}{3}[/tex3]
Agora, se [tex3]m > 0[/tex3] , a função tem concavidade para baixo e o coeficiente [tex3]b< 0[/tex3] , além disso, o coeficiente [tex3]c < 0[/tex3] , isso garante que a função intersecta o eixo [tex3]y[/tex3] no trecho decrescente, ou seja, os valores para a imagem diminuem, enquanto os valores para o domínio aumentam. No entanto, a parábola não é simétrica ao eixo [tex3]y[/tex3] , logo, pelo menos uma das raízes será menor que [tex3]-1[/tex3] .
Por outro lado, se [tex3]m < 0[/tex3] , a função continua tendo concavidade para baixo e o coeficiente [tex3]b>0[/tex3] e, novamente, o coeficiente [tex3]c<0[/tex3] . Isso garante que a função intersecta o eixo [tex3]y[/tex3] na parte crescente da função, ou seja, antes do vértice e, como a função não é simétrica em relação ao eixo [tex3]y[/tex3] , haverá raízes maiores que [tex3]-1[/tex3] , ambas, nesse caso.
É possível que haja uma interpretação mais fácil para termos [tex3]m < \frac{-2 \sqrt 2}{3}[/tex3] . Talvez o petras possa ajudar.
Última edição: Planck (Qua 25 Mar, 2020 19:17). Total de 1 vez.
Mar 2020
25
20:33
Re: Comparação de um número real com as raízes da equação do 2ª grau
biancavaldez,
Verificando as condições:
[tex3]\mathsf{\Delta >0\rightarrow m <- \frac{2\sqrt{2}}{3}~ou ~m>\frac{2\sqrt{2}}{3}(I)\\
a.f(-1)>0\rightarrow (m-1)((m-1)+m-2m-2))\rightarrow (m-1)(-3)\rightarrow \\
-3m+3>0\rightarrow m< 1(II)\\
\frac{S}{2}>-1\rightarrow \frac{m}{2(m-1)}>-1\rightarrow \frac{m}{2m-2} +1 > 0\rightarrow \frac{3m-2}{2m-2}>0\rightarrow m<\frac{2}{3}~ou ~m > 1(III)\\
(I)\cap (II)\cap (III)\rightarrow \boxed{\color{red}m < -\frac{2\sqrt{3}}{2}}}[/tex3]
Verificando as condições:
[tex3]\mathsf{\Delta >0\rightarrow m <- \frac{2\sqrt{2}}{3}~ou ~m>\frac{2\sqrt{2}}{3}(I)\\
a.f(-1)>0\rightarrow (m-1)((m-1)+m-2m-2))\rightarrow (m-1)(-3)\rightarrow \\
-3m+3>0\rightarrow m< 1(II)\\
\frac{S}{2}>-1\rightarrow \frac{m}{2(m-1)}>-1\rightarrow \frac{m}{2m-2} +1 > 0\rightarrow \frac{3m-2}{2m-2}>0\rightarrow m<\frac{2}{3}~ou ~m > 1(III)\\
(I)\cap (II)\cap (III)\rightarrow \boxed{\color{red}m < -\frac{2\sqrt{3}}{2}}}[/tex3]
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Abr 2021
26
14:46
Re: Comparação de um número real com as raízes da equação do 2ª grau
Complemento dinâmico no Geogebra à resposta:
=========================================
EQUAÇÃO DO 2º GRAU - relação entre um parâmetro e os coeficientes / RASCmat #31
========================================================================
Neste vídeo é analisado a variação de uma função do 2º grau em que os coeficientes estão dependentes de um parâmetro m, neste caso o intervalo de valores desse parâmetro de modo que a função tenha 2 raízes reais diferentes que obedeçam à condição ( x1 compreendido entre -1 e x2 ).
Essa análise é comprovada dinâmicamente no Geogebra.
Link do vídeo: https://youtu.be/Ik7CG2v_Keo
Alguns slides relativos à explicação em vídeo:
=======================================
=========================================
EQUAÇÃO DO 2º GRAU - relação entre um parâmetro e os coeficientes / RASCmat #31
========================================================================
Neste vídeo é analisado a variação de uma função do 2º grau em que os coeficientes estão dependentes de um parâmetro m, neste caso o intervalo de valores desse parâmetro de modo que a função tenha 2 raízes reais diferentes que obedeçam à condição ( x1 compreendido entre -1 e x2 ).
Essa análise é comprovada dinâmicamente no Geogebra.
Link do vídeo: https://youtu.be/Ik7CG2v_Keo
Alguns slides relativos à explicação em vídeo:
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