Ensino Médio ⇒ Inequação modular quociente Tópico resolvido

[Deleted User 23841]

Estou em dúvida em um exercício sobre inequação modular quociente, onde não consigo encontrar as soluções. Quem puder me ajudar ficarei grata!

[tex3]|3 - \frac{2x}{2 + x}|\leq4 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|3 - \frac{2x}{2 + x}|\leq4 [/tex3]

Resposta

---

[tex3]( -\infty, -11/2] \cup [-5/6,+ \infty)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]( -\infty, -11/2] \cup [-5/6,+ \infty)[/tex3]

[Tassandro]

Temos que
[tex3]-4\leq\frac{3-2x}{2+x}\leq4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-4\leq\frac{3-2x}{2+x}\leq4[/tex3]

[tex3]\implies-4x-8\leq3-2x\leq4x+8[/tex3]

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[tex3]\implies-4x-8\leq3-2x\leq4x+8[/tex3]

[tex3]\implies -2x-8\leq3\leq6x+8[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\implies -2x-8\leq3\leq6x+8[/tex3]

Agora vamos resolver cada inequação separadamente
[tex3]-2x-8\leq3\implies x\geq-\frac{11}{2}[/tex3]

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[tex3]-2x-8\leq3\implies x\geq-\frac{11}{2}[/tex3]

[tex3]3-2x\leq4x+8\implies x\geq-\frac{5}6{}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3-2x\leq4x+8\implies x\geq-\frac{5}6{}[/tex3]

.
Mas perceba que fizemos todos esses cálculos supondo que [tex3]x>-2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x>-2[/tex3]

, daí temos que fazer a interseção entre essas 3 condições:
[tex3]x\geq-\frac{11}{6}[/tex3]

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[tex3]x\geq-\frac{11}{6}[/tex3]

e [tex3]x\geq-\frac{5}{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\geq-\frac{5}{6}[/tex3]

e [tex3]x>-2 \implies x\geq-\frac{5}{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x>-2 \implies x\geq-\frac{5}{6}[/tex3]

Agora, temos que considerar os casos em que [tex3]x<-2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x<-2[/tex3]

, pois isso alterarará os sinais das duas inequações do começo. Assim, teremos
[tex3]-2x-8\geq3\implies x\leq-\frac{11}{2}[/tex3]

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[tex3]-2x-8\geq3\implies x\leq-\frac{11}{2}[/tex3]

[tex3]3-2x\geq4x+8\implies x\leq-\frac{5}{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3-2x\geq4x+8\implies x\leq-\frac{5}{6}[/tex3]

Portanto, vamos fazer a interseção entre essas três condições
[tex3]x<-2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x<-2[/tex3]

e [tex3]x\leq-\frac{11}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\leq-\frac{11}{2}[/tex3]

e [tex3]x\leq-\frac{5}{6} \implies x\leq-\frac{11}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\leq-\frac{5}{6} \implies x\leq-\frac{11}{2}[/tex3]

Logo, nossa resposta é
[tex3]\boxed{]-\infty,-11/2] \cup [-5/6; +\infty[}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{]-\infty,-11/2] \cup [-5/6; +\infty[}[/tex3]

.
[tex3]\blacksquare[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\blacksquare[/tex3]

[Tassandro]

Usei o fato de que se [tex3]|x|\leq k\implies -k\leq x \leq k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|x|\leq k\implies -k\leq x \leq k[/tex3]

.

[Deleted User 23841]

Tassandro Eu compreendi como foi feito, mas se o x tem que ser maior ou igual a - 11/2, por que ele vai vir do menos infinito até o - 11/2? não seria de - 11/2 até mais infinito?

[Tassandro]

Tassandro Eu compreendi como foi feito, mas se o x tem que ser maior ou igual a - 11/2, por que ele vai vir do menos infinito até o - 11/2? não seria de - 11/2 até mais infinito?

Obrigado pela correção! Agora fiz do jeito certo! Não se esqueça de marcar a solução!