Relações métricas só valem para triângulos retângulos, se for isso que você quis dizer, o que não é o caso do triângulo (4, 5, 6).
A menor altura sempre parte do vértice que une os dois menores lados. Basta desenhar em escala e isso se torna intuitivo, com os dois menores lados você consegue montar a menor altura possível em relação a base, então essa base fatalmente será o maior lado.
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Pitágoras no [tex3]\triangle ABH[/tex3]
:
[tex3]4^2=x^2+h^2[/tex3]
[tex3]h^2=16-x^2[/tex3]
(I)
Agora no [tex3]\triangle ACH[/tex3]
:
[tex3]5^2=(6-x)^2+h^2[/tex3]
[tex3]25=36-12x+x^2+h^2[/tex3]
(II)
Substituindo (I) em (II):
[tex3]25=36-12x+\cancel{x^2}+16-\cancel{x^2}[/tex3]
[tex3]25=52-12x[/tex3]
[tex3]x=\frac{9}{4}[/tex3]
Substituindo o resultado de [tex3]x[/tex3]
em (I):
[tex3]h^2=16-\left(\frac{9}{4}\right)^2[/tex3]
[tex3]h^2=\frac{175}{16}[/tex3]
[tex3]\boxed{h=\frac{5\sqrt7}{4}}[/tex3]
