Ensino Médio ⇒ Trigonometria Argentina Tópico resolvido

[AugustoITA]

(Argentina) Sabendo que [tex3]\cotg x+\cotg y+\cotg z=\dfrac{1}{\tg x+\tg y+\tg z}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cotg x+\cotg y+\cotg z=\dfrac{1}{\tg x+\tg y+\tg z}[/tex3]

com [tex3]\tg x\ne 0[/tex3]

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[tex3]\tg x\ne 0[/tex3]

, [tex3]\tg y\ne 0[/tex3]

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[tex3]\tg y\ne 0[/tex3]

e [tex3]\tg z\ne 0[/tex3]

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[tex3]\tg z\ne 0[/tex3]

. Então, o valor da expressão [tex3]E=\dfrac{1}{\cotg^nx+\cotg^ny+\cotg^nz}[/tex3]

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[tex3]E=\dfrac{1}{\cotg^nx+\cotg^ny+\cotg^nz}[/tex3]

, sendo [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

um número ímpar, vale:

Resposta

---

[tex3]\tg^nx[/tex3]

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[tex3]\tg^nx[/tex3]

[undefinied3]

[tex3]\frac{1}{tg(x)}+\frac{1}{tg(y)}+\frac{1}{tg(z)}=\frac{1}{tg(x)+tg(y)+tg(z)}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{tg(x)}+\frac{1}{tg(y)}+\frac{1}{tg(z)}=\frac{1}{tg(x)+tg(y)+tg(z)}[/tex3]

Mas a igualdade [tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}[/tex3]

implica [tex3](a+b)(a+c)(b+c)=0[/tex3]

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[tex3](a+b)(a+c)(b+c)=0[/tex3]

Segue que [tex3](tg(x)+tg(y))(tg(x)+tg(z))(tg(y)+tg(z))=0[/tex3]

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[tex3](tg(x)+tg(y))(tg(x)+tg(z))(tg(y)+tg(z))=0[/tex3]

Eu não tenho certeza como que a resposta pode ser apenas [tex3]tg^n(x)[/tex3]

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[tex3]tg^n(x)[/tex3]

pois esta resposta vem do caso em que [tex3]tg(y)+tg(z)=0 \rightarrow cotg(y)=-cotg(z)[/tex3]

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[tex3]tg(y)+tg(z)=0 \rightarrow cotg(y)=-cotg(z)[/tex3]

. Como é dito no enunciado que n é ímpar, então [tex3]cotg^n(y)=-cotg^n(z)[/tex3]

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[tex3]cotg^n(y)=-cotg^n(z)[/tex3]

, de modo que [tex3]E=\frac{1}{cotg^n(x)}=tg^n(x)[/tex3]

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[tex3]E=\frac{1}{cotg^n(x)}=tg^n(x)[/tex3]

, mas a resposta poderia ser [tex3]tg^n(y)[/tex3]

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[tex3]tg^n(y)[/tex3]

ou [tex3]tg^n(z)[/tex3]

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[tex3]tg^n(z)[/tex3]

também, pois há total simetria na expressão.

To deixando de perceber algo?

A propósito, aquela implicação que eu citei da igualdade está provada aqui: viewtopic.php?f=20&t=78727

[AugustoITA]

Também estranhei isso, mas o gabarito diz isso, as opções de alternativas são:
A)[tex3]tg^nx[/tex3]

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[tex3]tg^nx[/tex3]

B)1
C)[tex3]cotg^ny+cotg^nz[/tex3]

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[tex3]cotg^ny+cotg^nz[/tex3]

D)[tex3](tg^nx)(tg^ny)(tg^nz)[/tex3]

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[tex3](tg^nx)(tg^ny)(tg^nz)[/tex3]

E)-1

Gab.: A
O gabarito pode estar errado, mas até agora não achei uma questão com erro nesse material.

[undefinied3]

É o que eu marcaria, as outras não fazem sentido. Eu acho que a resposta não é única, por isso ele forneceu alternativas e apenas uma das possibilidades para assinalar.

[AugustoITA]

Mas se tgx=1 a letra B é valida. Se tgx=-1, a letra E é válida

[undefinied3]

Mas se não for, não é válida. O enunciado não dá margem pra você marcar as outras. Pelas condições que ele deu, só a letra A pode ser opção.