[tex3]x^2-x+1=(x-\frac{1}{2})^2+(0-\frac{\sqrt{3}}{2})^2[/tex3]
[tex3]x^2-\sqrt{3}x+1=(x-\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(0-\frac{1}{2})^2[/tex3]
Considere o ponto [tex3](x,0)[/tex3]
e os pontos [tex3](\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})[/tex3]
e [tex3](\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})[/tex3]
. Então f é a distância do primeiro ponto aos outros dois e queremos o valor de x que minimiza esta distância.
Ora, pensando geometricamente, a menor distância entre dois pontos é uma reta. Para minimizarmos a distância do ponto [tex3](x,0)[/tex3]
até os outros dois pontos, a ideia é que, ao refletirmos um dos pontos em relação a reta [tex3]y=0[/tex3]
, onde está localizado o ponto a se determinar, devemos ter que o outro ponto, a reflexão e o ponto a determinar precisam estar alinhados. Geometricamente:
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A e B são os dois pontos conhecidos. B' é a reflexão de B e C é o ponto a se determinar que deve estar na intersecção daquela reta com o eixo y.
A equação da reta é facilmente determinada: [tex3]y-\frac{\sqrt{3}}{2}=-(2+\sqrt{3})(x-\frac{1}{2})[/tex3]
Como o ponto a determinar é da forma [tex3](x,0)[/tex3]
, então basta impor [tex3]y=0[/tex3]
na equação da reta.
[tex3]-\frac{\sqrt{3}}{2}=-(2+\sqrt{3})(x-\frac{1}{2}) \rightarrow x=\sqrt{3}-1[/tex3]
Substituindo o valor de x na função, chegamos na resposta [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.