O valor da potencia I2n+1, onde n e IN é ?
Resposta i ou -i
Ensino Médio ⇒ Números complexos
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2020
12
12:03
Re: Números complexos
Regrinha básica:
Se [tex3]k\in\mathbb{N}[/tex3] , então
[tex3]i^{4k}=1[/tex3]
[tex3]i^{4k+1}=i[/tex3]
[tex3]i^{4k+2}=-1[/tex3]
[tex3]i^{4k+3}=-i[/tex3]
Agora, vamos analisar a expressão [tex3]2n+1[/tex3] .
Se [tex3]n[/tex3] for par, então [tex3]2n[/tex3] é múltiplo de 4 e, portanto, [tex3]2n+1=4k+1[/tex3] .
Logo, quando [tex3]n[/tex3] for par, [tex3]i^{2n+1}=i^{4k+1}=i[/tex3] .
Se [tex3]n[/tex3] for ímpar, então [tex3]2n[/tex3] é múltiplo de 2 e, portanto, de duas, uma:
1) também é múltiplo de 4, fazendo com que caiamos no primeiro caso.
2) não é múltiplo de 4 e, portanto, é da forma [tex3]4k+2[/tex3] . Com isso, [tex3]2n+1=(4k+2)+1=4k+3[/tex3] .
Logo, quando [tex3]n[/tex3] for ímpar, [tex3]i^{2n+1}=i^{4k+3}=-i[/tex3] .
Se [tex3]k\in\mathbb{N}[/tex3] , então
[tex3]i^{4k}=1[/tex3]
[tex3]i^{4k+1}=i[/tex3]
[tex3]i^{4k+2}=-1[/tex3]
[tex3]i^{4k+3}=-i[/tex3]
Agora, vamos analisar a expressão [tex3]2n+1[/tex3] .
Se [tex3]n[/tex3] for par, então [tex3]2n[/tex3] é múltiplo de 4 e, portanto, [tex3]2n+1=4k+1[/tex3] .
Logo, quando [tex3]n[/tex3] for par, [tex3]i^{2n+1}=i^{4k+1}=i[/tex3] .
Se [tex3]n[/tex3] for ímpar, então [tex3]2n[/tex3] é múltiplo de 2 e, portanto, de duas, uma:
1) também é múltiplo de 4, fazendo com que caiamos no primeiro caso.
2) não é múltiplo de 4 e, portanto, é da forma [tex3]4k+2[/tex3] . Com isso, [tex3]2n+1=(4k+2)+1=4k+3[/tex3] .
Logo, quando [tex3]n[/tex3] for ímpar, [tex3]i^{2n+1}=i^{4k+3}=-i[/tex3] .
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