Ensino Médio ⇒ Circunferência

[Flavio2020]

O gráfico,A(2;7),B(6;5) e r=2 [tex3]\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{5}[/tex3]

,calcule a equação da circunferência C1.(M ponto de tangência).

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a)x²+y²-[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

x-[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

y-12=0
b)x²+y²-2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

x-2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

y-12=0
c)x²+y²-[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

x-[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

y-12=0
d)x²+y²-2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

x-2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

y-12=0
e)x²+y²-4x-4y-12=0

Resposta

---

e

[csmarcelo]

[tex3]M=\(\frac{2+6}{2},\frac{7+5}{2}\)=(4,6)[/tex3]

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[tex3]M=\(\frac{2+6}{2},\frac{7+5}{2}\)=(4,6)[/tex3]

O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos [tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

e [tex3]B[/tex3]

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[tex3]B[/tex3]

é [tex3]-\frac{7-5}{6-2}=-\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]-\frac{7-5}{6-2}=-\frac{1}{2}[/tex3]

. Logo, o coeficiente angular da reta [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

que passa pelos pontos [tex3]M[/tex3]

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[tex3]M[/tex3]

e [tex3]O[/tex3]

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[tex3]O[/tex3]

, centro das circunferências, é 2.

Daí, [tex3]2\cdot4+b=6\therefore b=-2[/tex3]

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[tex3]2\cdot4+b=6\therefore b=-2[/tex3]

.

Portanto, [tex3]r:2x-2[/tex3]

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[tex3]r:2x-2[/tex3]

.

Da distância entre dois pontos

[tex3]\sqrt{(4-x_O)^2+(6-y_O)^2}=2\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{(4-x_O)^2+(6-y_O)^2}=2\sqrt{5}[/tex3]

[tex3]\sqrt{(4-x_O)^2+[6-(2x_O-2)]^2}=2\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{(4-x_O)^2+[6-(2x_O-2)]^2}=2\sqrt{5}[/tex3]

[tex3]\sqrt{5x_O^2-40x_O+80}=2\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{5x_O^2-40x_O+80}=2\sqrt{5}[/tex3]

[tex3]\sqrt{4\(\frac{5x_O^2}{4}-10x_O+20\)}=2\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{4\(\frac{5x_O^2}{4}-10x_O+20\)}=2\sqrt{5}[/tex3]

[tex3]\frac{5x_O^2}{4}-10x_O+20=5[/tex3]

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[tex3]\frac{5x_O^2}{4}-10x_O+20=5[/tex3]

[tex3]x_O^2-8x_O+12=0[/tex3]

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[tex3]x_O^2-8x_O+12=0[/tex3]

Logo,

[tex3]x_O=2\therefore y_O=2[/tex3]

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[tex3]x_O=2\therefore y_O=2[/tex3]

ou

[tex3]x_O=6\therefore y_O=10[/tex3]

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[tex3]x_O=6\therefore y_O=10[/tex3]

Como [tex3]M[/tex3]

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[tex3]M[/tex3]

também pertence à reta [tex3]y=x[/tex3]

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[tex3]y=x[/tex3]

, então [tex3]y_O=x_O=2[/tex3]

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[tex3]y_O=x_O=2[/tex3]

.

Dessa forma, a equação da circunferência [tex3]C_1[/tex3]

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[tex3]C_1[/tex3]

é [tex3](x-2)^2+(y-2)^2=\(2\sqrt{5}\)^2[/tex3]

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[tex3](x-2)^2+(y-2)^2=\(2\sqrt{5}\)^2[/tex3]

, que equivale a [tex3]x^2-4x+y^2-4y-12=0[/tex3]

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[tex3]x^2-4x+y^2-4y-12=0[/tex3]

.

[Hanon]

csmarcelo, [tex3]M[/tex3]

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[tex3]M[/tex3]

pertence à reta [tex3]y=x[/tex3]

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[tex3]y=x[/tex3]

?
Não entendi direito essa justificativa...

[csmarcelo]

Hanon, perdão. Quis dizer [tex3]O[/tex3]

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[tex3]O[/tex3]

. Repare que [tex3]O[/tex3]

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[tex3]O[/tex3]

é extremo do segmento contido na reta cujo coeficiente angular é [tex3]\tan45^\circ=1[/tex3]

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[tex3]\tan45^\circ=1[/tex3]

e que passa pela origem do plano.