Ensino Médio ⇒ (FME) Polinômios Tópico resolvido

[Simonsen]

Determine a condição necessária e suficiente para que a expressão [tex3]\frac{a_1.x^2+b_1\cdot x+c_1}{a_2\cdot x^2+b_2\cdot x+c_2}[/tex3]

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[tex3]\frac{a_1.x^2+b_1\cdot x+c_1}{a_2\cdot x^2+b_2\cdot x+c_2}[/tex3]

, em que [tex3]a_1,\,b_1,\,c_1,\,a_2,\,b_2 ,\,c_2[/tex3]

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[tex3]a_1,\,b_1,\,c_1,\,a_2,\,b_2 ,\,c_2[/tex3]

são reais não nulos, assuma um valor que não depende de [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

.

Resposta

---

Gabarito: [tex3]\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}[/tex3]

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[tex3]\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}[/tex3]

O que significa tais coeficientes assumirem um valor não dependente de [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

?

[CarlosBruno]

Antes de resolver a questão irei explicar o que seria fazer com que a expressão seja independente dos valores de x. Tal ideia se baseia em manipular os coeficientes para que o valor da expressão se mantenha constante independentemente da variação de x. Portanto: [tex3]\frac{a_1x^2+b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2}=k \ , \forall x\in\mathbb{C }\therefore a_1x^2+b_1x+c_1=ka_2x^2+kb_2x+kc_2 (igualdade \ de \ polinômios)\\\therefore k=\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_2}{c_1}[/tex3]

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[tex3]\frac{a_1x^2+b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2}=k \ , \forall x\in\mathbb{C }\therefore a_1x^2+b_1x+c_1=ka_2x^2+kb_2x+kc_2 (igualdade \ de \ polinômios)\\\therefore k=\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_2}{c_1}[/tex3]

Conclue-se que a expressão vai manter seu valor constante, para todo x complexo, se e somente se [tex3]\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}[/tex3]

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[tex3]\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}[/tex3]