Ensino Médio ⇒ Demonstração - vértice de uma equação de 2º grau (sem cálculo)

[mcarvalho]

Talvez seja de conhecimento a demonstração de como achar o vértice da equação de segundo grau por derivadas. Recentemente, também me deparei neste (ou em outro) fórum com uma demonstração que não quer requer cálculo, usando a ideia de que o vértice produz um eixo de simetria da parábola, validando a relação [tex3]f(x+p)=f(x-p)[/tex3]

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[tex3]f(x+p)=f(x-p)[/tex3]

. Esta que apresentarei agora, se bem menos elegante e prática, também exige apenas a matemática de ensino médio.

Seja o ponto [tex3]V(x_v,y_v)[/tex3]

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[tex3]V(x_v,y_v)[/tex3]

o vértice da parábola de equação [tex3]y=f(x)=ax^2+bx+c[/tex3]

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[tex3]y=f(x)=ax^2+bx+c[/tex3]

Trabalharemos com a ideia de que uma reta paralela ao eixo das abcissas será:
i) tangente à parábola caso ela a intercepte no vértice;
ii) secante à parábola caso ela a intercepte em um ponto que não no vértice (abaixo do vértice se [tex3]a>0[/tex3]

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[tex3]a>0[/tex3]

, e acima se [tex3]a<0[/tex3]

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[tex3]a<0[/tex3]

);
iii) não intercepterá a parábola caso... bem... caso não intercepte a parábola.

Como queremos justamente as coordenadas do vértice, então lidaremos com o primeiro caso. Ora, tal reta será paralela ao eixo das abscissas (então será do tipo [tex3]y=y_0[/tex3]

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[tex3]y=y_0[/tex3]

), e sua ordenada será a mesma ordenada do vértice da parábola, pois lhe é tangente. Então, a reta tem equação: [tex3]y=y_v[/tex3]

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[tex3]y=y_v[/tex3]

. Paralelamente, outra reta que cruza o vértice é a reta paralela ao eixo das ordenadas (do tipo [tex3]x=x_o[/tex3]

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[tex3]x=x_o[/tex3]

), e, assim, com a mesma abcissa do vértice. Sua equação: [tex3]x=x_v[/tex3]

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[tex3]x=x_v[/tex3]

.

Substituindo em f(x), teremos: [tex3]y_v=ax^2+bx+c\rightarrow ax^2+bx+(c-y_v)=0[/tex3]

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[tex3]y_v=ax^2+bx+c\rightarrow ax^2+bx+(c-y_v)=0[/tex3]

. Só existe um ponto que satisfaz essa equação, então, necessariamente, [tex3]\Delta=0\rightarrow b^2-4a(c-y_v)=0\rightarrow b^2=4a(c-y_v)\rightarrow y_v=-\frac{b^2}{4a}+c[/tex3]

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[tex3]\Delta=0\rightarrow b^2-4a(c-y_v)=0\rightarrow b^2=4a(c-y_v)\rightarrow y_v=-\frac{b^2}{4a}+c[/tex3]

.

Entretanto, sabemos que [tex3]V(x_v,y_v)[/tex3]

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[tex3]V(x_v,y_v)[/tex3]

pertence à parabola. Segue: [tex3]f(x_v)=y_v\rightarrow a(x_v)^2+b(x_v)+c=-\frac{b^2}{4a}+c\\ax_v^2+bx_v+\frac{b^2}{4a}=0[/tex3]

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[tex3]f(x_v)=y_v\rightarrow a(x_v)^2+b(x_v)+c=-\frac{b^2}{4a}+c\\ax_v^2+bx_v+\frac{b^2}{4a}=0[/tex3]

Ora, mas essa é outra equação de segundo grau! Resolvendo:
[tex3]x_v=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4a.(\frac{b^2}{4a})}}{2a}=\frac{-b}{2a}[/tex3]

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[tex3]x_v=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4a.(\frac{b^2}{4a})}}{2a}=\frac{-b}{2a}[/tex3]

Conforme queríamos demonstrar.