Ensino Médio ⇒ Polinômios Tópico resolvido

[Valdilenex]

O polinômio P(x) = x⁴ + mx² + n é divisível por x² – 4 e também por x² – 3. O valor do produto mn é:
Gabarito: -84

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

• x² - 4 = 0 → x = ± 2

• x² - 3 = 0 → x = ± √3

Basta agora aplicar o teorema de D'Alembert, temos

P( 2 ) = 2⁴ + m.2² + n

0= 16 + 4m + n

4m + n = - 16 ( I )


Por outro lado,

P( √3 ) = √3⁴ + m.√3² + n

0 = 3² + 3m + n

3m + n = - 9 ( I I )


De ( I ) e ( I I ), vem;


[tex3]\begin{cases}
4m+n=-16 →×(-1)\\
3m+n=-9
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
4m+n=-16 →×(-1)\\
3m+n=-9
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
-4m-\cancel{n}=16 \\
3m+\cancel{n}=-9
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
-4m-\cancel{n}=16 \\
3m+\cancel{n}=-9
\end{cases}[/tex3]

-------------------------------------
- m = 7 → m = - 7


Substituindo m = - 7 em ( I I ) , fica;
3.( - 7 ) + n = - 9

- 21 + n = - 9

n = - 9 + 21

n = 12

Então,

m.n = - 7.12 = - 84


Portanto, mn = - 84.


Bons estudos!