Ensino Médio ⇒ Triângulos e Medidas Tópico resolvido

[geobson]

Na figura: [tex3]T[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T[/tex3]

e [tex3]K[/tex3]

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[tex3]K[/tex3]

são pontos de tangência. [tex3]O[/tex3]

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[tex3]O[/tex3]

é centro e [tex3](b^2+c^2) - (m^2 + n^2) = x^2[/tex3]

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[tex3](b^2+c^2) - (m^2 + n^2) = x^2[/tex3]

, calcular [tex3]HK[/tex3]

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[tex3]HK[/tex3]

.

Screenshot_2020-01-24-17-48-15_2.png (42.74 KiB) Exibido 901 vezes

a) [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

b) [tex3]\frac{x}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{2}[/tex3]

c) [tex3]2x[/tex3]

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[tex3]2x[/tex3]

d) [tex3]x\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]x\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

e) [tex3]\frac{x}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{4}[/tex3]

Resposta

---

d

[geobson]

já encontrei a resposta , pois este problema já foi postado e respondido .
viewtopic.php?f=2&t=59553&p=157521#p157521

[geobson]

Resumo visual da solução....
E lembrando que há um erro no desenho , pois a solução só é possível , assumindo que que o prolongamento da hipotenusa do triángulo tangenciará o círculo maior e, além disso, outro erro bem grande foi a supressão do ângulo reto .

[petras]

geobson,
O desenho do enunciado nesse post não mostra que ABC é retângulo como no do link

[petras]

geobson,
Segue transcrição com desenho em escala.

[tex3](\underbrace{b^2}_{c^2+BC^2}+c^2) - (\underbrace{m^2}_{c^2+r^2} + \underbrace{n^2}_{c^2+R^2}) = x^2\\
BC^2-r^2-r^2-R^2=x^2(I)\\
AS = AR \implies c+R=b+(BC-R)(II)\\
\triangle ABC: T.Poncelet: c+bc=b+2r(III)\\
(II)e(III):BC = R+r(IV)\\
(IV) em(I):x^2=2Rr\\
\triangle BHC: KH^2=BK.KC=R(\underbrace{BC-R}_r)\\
\therefore KH = \sqrt{Rr}=\sqrt{\frac{x^2}{2}}=\boxed{\frac{x\sqrt2}{2}} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\underbrace{b^2}_{c^2+BC^2}+c^2) - (\underbrace{m^2}_{c^2+r^2} + \underbrace{n^2}_{c^2+R^2}) = x^2\\
BC^2-r^2-r^2-R^2=x^2(I)\\
AS = AR \implies c+R=b+(BC-R)(II)\\
\triangle ABC: T.Poncelet: c+bc=b+2r(III)\\
(II)e(III):BC = R+r(IV)\\
(IV) em(I):x^2=2Rr\\
\triangle BHC: KH^2=BK.KC=R(\underbrace{BC-R}_r)\\
\therefore KH = \sqrt{Rr}=\sqrt{\frac{x^2}{2}}=\boxed{\frac{x\sqrt2}{2}} [/tex3]

[geobson]

geobson,
Segue transcrição com desenho em escala.

[tex3](\underbrace{b^2}_{c^2+BC^2}+c^2) - (\underbrace{m^2}_{c^2+r^2} + \underbrace{n^2}_{c^2+R^2}) = x^2\\
BC^2-r^2-r^2-R^2=x^2(I)\\
AS = AR \implies c+R=b+(BC-R)(II)\\
\triangle ABC: T.Poncelet: c+bc=b+2r(III)\\
(II)e(III):BC = R+r(IV)\\
(IV) em(I):x^2=2Rr\\
\triangle BHC: KH^2=BK.KC=R(\underbrace{BC-R}_r)\\
\therefore KH = \sqrt{Rr}=\sqrt{\frac{x^2}{2}}=\boxed{\frac{x\sqrt2}{2}} [/tex3]

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[tex3](\underbrace{b^2}_{c^2+BC^2}+c^2) - (\underbrace{m^2}_{c^2+r^2} + \underbrace{n^2}_{c^2+R^2}) = x^2\\
BC^2-r^2-r^2-R^2=x^2(I)\\
AS = AR \implies c+R=b+(BC-R)(II)\\
\triangle ABC: T.Poncelet: c+bc=b+2r(III)\\
(II)e(III):BC = R+r(IV)\\
(IV) em(I):x^2=2Rr\\
\triangle BHC: KH^2=BK.KC=R(\underbrace{BC-R}_r)\\
\therefore KH = \sqrt{Rr}=\sqrt{\frac{x^2}{2}}=\boxed{\frac{x\sqrt2}{2}} [/tex3]

Show de bola! Obrigado!

[geobson]

geobson,
O desenho do enunciado nesse post não mostra que ABC é retângulo como no do link

Verdade, meu amigo..
Isso ocorre porque o desenho foi da primeira edição do livro da Racso .....
Mas já nesse da terceira edição , foi corrigido este detalhe ( conforme foto)