Ensino MédioEquação Trigonométrica Tópico resolvido

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Babi123
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Jan 2020 17 00:37

Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por Babi123 »

Quantos números positivo [tex3]x[/tex3] satisfazem a equação [tex3]\cos(97x)=x[/tex3]

A) 1
B) 15
C) 31
D) 49
E) 96




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undefinied3
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Jan 2020 17 16:30

Re: Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por undefinied3 »

O período desse cosseno é [tex3]\frac{2\pi}{97}[/tex3] .

A quantidade de ondas até [tex3]x \leq 1[/tex3] é [tex3]2k\pi<97 \rightarrow k \leq 15[/tex3] . Tomamos [tex3]x \leq 1[/tex3] pois a função do lado direito é a identidade, então seu valor y será igual ao seu valor x. Como sabemos que cosseno é limitado em 1, então basta limitar x em 1.

Ora, se a quantidade de ondas é 15, então temos 15 picos, em particular. Se temos 15 picos, cada pico corta duas a reta [tex3]y=x[/tex3] , pois cada pico "cai" para o dois lados. Então aí tem 30 raízes.

Mas ainda falta contar uma, que é o "pico inicial" da função que não é contado nessa desigualdade. Me refiro ao fato de que, para x=0, temos [tex3]cos(0)=1[/tex3] e [tex3]y=x \rightarrow y=0[/tex3] . Como só queremos [tex3]x>0[/tex3] , esse "pico inicial" só cai para a direita e cortará [tex3]y=x[/tex3] em um ponto.

No total são 31 raízes.

Ficou bem carteado mas eu não sei se tem um jeito bom de resolver isso não.



Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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