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Equação Trigonométrica

Enviado: Sex 17 Jan, 2020 00:37
por Babi123
Quantos números positivo [tex3]x[/tex3] satisfazem a equação [tex3]\cos(97x)=x[/tex3]

A) 1
B) 15
C) 31
D) 49
E) 96

Re: Equação Trigonométrica

Enviado: Sex 17 Jan, 2020 16:30
por undefinied3
O período desse cosseno é [tex3]\frac{2\pi}{97}[/tex3] .

A quantidade de ondas até [tex3]x \leq 1[/tex3] é [tex3]2k\pi<97 \rightarrow k \leq 15[/tex3] . Tomamos [tex3]x \leq 1[/tex3] pois a função do lado direito é a identidade, então seu valor y será igual ao seu valor x. Como sabemos que cosseno é limitado em 1, então basta limitar x em 1.

Ora, se a quantidade de ondas é 15, então temos 15 picos, em particular. Se temos 15 picos, cada pico corta duas a reta [tex3]y=x[/tex3] , pois cada pico "cai" para o dois lados. Então aí tem 30 raízes.

Mas ainda falta contar uma, que é o "pico inicial" da função que não é contado nessa desigualdade. Me refiro ao fato de que, para x=0, temos [tex3]cos(0)=1[/tex3] e [tex3]y=x \rightarrow y=0[/tex3] . Como só queremos [tex3]x>0[/tex3] , esse "pico inicial" só cai para a direita e cortará [tex3]y=x[/tex3] em um ponto.

No total são 31 raízes.

Ficou bem carteado mas eu não sei se tem um jeito bom de resolver isso não.