Ensino MédioGeometria plana Tópico resolvido

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Heisenberg1
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Jan 2020 15 15:00

Geometria plana

Mensagem não lida por Heisenberg1 »

Considere o quadrado MNPQ, cuja medida do lado é igual a 5cm No interior desse quadrado, está o triângulo equilátero MJL, onde os vértices J e L estão respectivamente sobre os lados NP e PQ do quadrado.



Nessas condições, pode-se afirmar corretamente que a medida, em cm² da área limitada pelo triângulo MJL é igual a
Resposta

Gab= -75+50.[tex3]\sqrt{3}[/tex3]




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lookez
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Re: Geometria plana

Mensagem não lida por lookez »

A dificuldade do problema é conseguir enxergar a simetria e desenhar. Dado que um triângulo equilátero possui três lados iguais formando ângulos iguais de 60°entre si, você deve intuir que essa é a única possibilidade para o desenho, pois foi fixado que um dos vértices coincide com um vértice do quadrado, e os outros estão sobre dois outros lados do mesmo.
prob.png
prob.png (17.8 KiB) Exibido 163 vezes
Nos triângulos retângulos [tex3]\triangle MQL\equiv\triangle MNJ[/tex3] , por trigonometria temos que [tex3]\cos 15\degree=\frac{5}{x}[/tex3] , e sabemos que [tex3]\cos 15\degree=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}[/tex3] pois basta calcular [tex3]\cos(45\degree-30\degree)[/tex3] , assim encontramos [tex3]x=5(\sqrt6-\sqrt2)[/tex3] .

A área de um triângulo equilátero é dada pela conhecida fórmula [tex3]\frac{a^2\sqrt3}{4}[/tex3] , assim:
[tex3]A_{\triangle MJL}=\frac{5^2(\sqrt6-\sqrt2)^2\cdot\sqrt3}{4}=\boxed{50\sqrt3-75}[/tex3]

Última edição: lookez (Qua 15 Jan, 2020 16:14). Total de 1 vez.



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