Ensino Médio ⇒ Logaritmos Tópico resolvido

[mandycorrea]

[tex3]4\cdot x^{\log_2x}=x^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4\cdot x^{\log_2x}=x^3[/tex3]

Fiz assim:

[tex3]4\cdot x^{\frac{\log_xx}{\log_x2} }=x^3 \\ \therefore \\ 4\cdot x^{\frac{1}{\log_x2} }=x^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4\cdot x^{\frac{\log_xx}{\log_x2} }=x^3 \\ \therefore \\ 4\cdot x^{\frac{1}{\log_x2} }=x^3[/tex3]

Pensei nisso mas não sei como continuar

[deOliveira]

[tex3]4\cdot x^{\log_{2}x}=x^3\\4\cdot x^{\frac{\log_x x}{\log_x 2}}=x^3\\4\cdot x^{\frac1{\log_x 2}}=x^3\\x^{\log_x 4}\cdot x^{\frac1{\log_x 2}}=x^3\\
x^{\log_x 4+\frac1{\log_x 2}}=x^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4\cdot x^{\log_{2}x}=x^3\\4\cdot x^{\frac{\log_x x}{\log_x 2}}=x^3\\4\cdot x^{\frac1{\log_x 2}}=x^3\\x^{\log_x 4}\cdot x^{\frac1{\log_x 2}}=x^3\\
x^{\log_x 4+\frac1{\log_x 2}}=x^3[/tex3]

[tex3]\log_x 4+\frac1{\log_x 2}=3\\\log_x 2^2+\frac1{\log_x 2}=3\\2\cdot\log_x 2+\frac1{\log_x 2}=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_x 4+\frac1{\log_x 2}=3\\\log_x 2^2+\frac1{\log_x 2}=3\\2\cdot\log_x 2+\frac1{\log_x 2}=3[/tex3]

Vamos fazer uma substituição.

[tex3]t=\log_x 2[/tex3]

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[tex3]t=\log_x 2[/tex3]

[tex3]2t+\frac1t=3\\2t^2-3t+1=0\\\Delta=9-8=1\\t=\frac{3\pm1}4\\t=1\ ou\ t=\frac12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2t+\frac1t=3\\2t^2-3t+1=0\\\Delta=9-8=1\\t=\frac{3\pm1}4\\t=1\ ou\ t=\frac12[/tex3]

Voltando para a variável [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

[tex3]t=1\implies\log_x{2}=1\implies x=2[/tex3]

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[tex3]t=1\implies\log_x{2}=1\implies x=2[/tex3]

[tex3]t=\frac12\implies\log_x2=\frac12\implies x=4[/tex3]

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[tex3]t=\frac12\implies\log_x2=\frac12\implies x=4[/tex3]

Espero ter ajudado .

[rodBR]

Olámandycorrea, boa tarde.

Outra solução:
[tex3]4\cdot x^{\log_2x}=x^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4\cdot x^{\log_2x}=x^3[/tex3]

Fazendo:
[tex3]\log_2x=k\iff x=2^k[/tex3]

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[tex3]\log_2x=k\iff x=2^k[/tex3]

, temos:

[tex3]4\cdot(2^{k})^k=(2^k)^3\\
2^2\cdot2^{k^2}=2^{3k}\\
2^{2+k^2}=2^{3k}\\
k^2+2=3k\\
k^2-3k+2=0\\
\begin{cases}∆=1\\k_1=2\\k_2=1\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4\cdot(2^{k})^k=(2^k)^3\\
2^2\cdot2^{k^2}=2^{3k}\\
2^{2+k^2}=2^{3k}\\
k^2+2=3k\\
k^2-3k+2=0\\
\begin{cases}∆=1\\k_1=2\\k_2=1\end{cases}[/tex3]

Mas, como [tex3]\log_2x=k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_2x=k[/tex3]

, temos dois casos:
1°) Para [tex3]k=2[/tex3]

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[tex3]k=2[/tex3]

:
[tex3]\log_2x=k\\
\log_2x=2\\
x=2^2\iff \boxed{x=4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_2x=k\\
\log_2x=2\\
x=2^2\iff \boxed{x=4}[/tex3]

2°) Para [tex3]k=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k=1[/tex3]

:
[tex3]\log_2x=k\\
\log_2x=1\\
x=2^1\iff\boxed{x=2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\log_2x=k\\
\log_2x=1\\
x=2^1\iff\boxed{x=2}[/tex3]

Portanto, o conjunto solução da equação [tex3]4\cdot x^{\log_2x}=x^3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4\cdot x^{\log_2x}=x^3[/tex3]

é:
[tex3]\boxed{\boxed{S=\{2,\ 4\}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{S=\{2,\ 4\}}}[/tex3]

att>>rodBR