Ensino MédioDesigualdade Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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Babi123
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Jan 2020 15 12:19

Desigualdade

Mensagem não lida por Babi123 »

Sejam [tex3]a \ e \ b[/tex3] números reais tais que [tex3]a+b>0[/tex3] . Mostre que:
[tex3]\frac{a^2+b^2}{a+b}\geq \frac{a+b}{2}[/tex3]




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snooplammer
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Jan 2020 15 13:28

Re: Desigualdade

Mensagem não lida por snooplammer »

Uma ideia simples até

[(a+b)²-2ab]/(a+b) = a+b - 2ab/(a+b)
a+b=y

f(y) := y - 2ab/y -y/2

f'(y) := 1 + 2ab*1/√y -1/2
f'(y) = 0

2ab/√y = -1/2

ab < 0 pois y > 0

Logo a+b - 2ab/(a+b) > (a+b)/2




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snooplammer
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Jan 2020 15 13:42

Re: Desigualdade

Mensagem não lida por snooplammer »

Chegando em casa eu explico melhor



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Re: Desigualdade

Mensagem não lida por snooplammer »

Outro método mais rápido

2a²+2b² ≥ a²+b² +2ab
a²-2ab+b² ≥0
(a-b)²≥0

Chegando na mesma conclusão



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Babi123
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Re: Desigualdade

Mensagem não lida por Babi123 »

Obgda snooplammer :D:D

Última edição: Babi123 (Qua 15 Jan, 2020 14:49). Total de 1 vez.



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