Ensino MédioEquações irracionais Tópico resolvido

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LEIka
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Equações irracionais

Mensagem não lida por LEIka »

Resolva a equação: [tex3]\sqrt{\frac{2x}{1-3x}}[/tex3] + [tex3]\sqrt{\frac{1-3x}{2x}}[/tex3] = [tex3]\frac{13}{6}[/tex3]




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deOliveira
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Re: Equações irracionais

Mensagem não lida por deOliveira »

[tex3]\sqrt{\frac{2x}{1-3x}}+\sqrt{\frac{1-3x}{2x}}=\frac{13}6[/tex3]

Vamos elevar os dois lados ao quadrado

[tex3]\frac{2x}{1-3x}+\frac{1-3x}{2x}+2\sqrt{\frac{2x}{1-3x}\cdot\frac{1-3x}{2x}}=\frac{169}{36}\\\frac{2x}{1-3x}+\frac{1-3x}{2x}+2\sqrt{\frac{\cancel{2x}}{\cancel{1-3x}}\cdot\frac{\cancel{1-3x}}{\cancel{2x}}}=\frac{169}{36}\\
\frac{2x}{1-3x}+\frac{1-3x}{2x}+2\sqrt1=\frac{169}{36}\\
\frac{2x}{1-3x}+\frac{1-3x}{2x}+2=\frac{169}{36}\\
\frac{(2x)^2+(1-3x)^2}{2x(1-3x)}=\frac{97}{36}\\
\frac{4x^2+1-6x+9x^2}{2x(1-3x)}=\frac{97}{36}\\\frac{13x^2-6x+1}{2x(1-3x)}=\frac{97}{36}\\(13x^2-6x+1)\cdot36=97\cdot(2x-6x^2)\\
(13x^2-6x+1)\cdot18=97\cdot(x-3x^2)\\
234x^2-108x+18=97x-291x^2\\
525x^2-205x+18=0\\\Delta=205^2-4\cdot525\cdot18=42025-37800=4225=65^2\\x=\frac{205\pm65}{525\cdot2}\\x_0=\frac{2}{15}\\x_1=\frac9{35}[/tex3]

Agora temos de testar os valores encontrados na equação original.

[tex3]x_0=\frac{2}{15}\\\sqrt{\frac{\frac{2\cdot2}{15}}{1-\frac{3\cdot2}{15}}}+\sqrt{\frac{1-\frac{3\cdot2}{15}}{\frac{2\cdot2}{15}}}=\\\sqrt{\frac{\frac4{15}}{\frac35}}+\sqrt{\frac{\frac35}{\frac4{15}}}=\\\sqrt{\frac4{15}\cdot\frac{5}{3}}+\sqrt{\frac35\cdot\frac{15}4}=\\
\sqrt{\frac49}+\sqrt{\frac94}=\\\frac23+\frac32=\frac{4+9}{6}=\frac{13}6[/tex3]
Então [tex3]x_0=\frac{2}{15}[/tex3] é raiz.

[tex3]x_1=\frac{9}{35}\\\sqrt{\frac{\frac{2\cdot9}{35}}{1-\frac{3\cdot9}{35}}}+\sqrt{\frac{1-\frac{3\cdot9}{35}}{\frac{2\cdot9}{35}}}=\\
\sqrt{\frac{\frac{18}{35}}{\frac8{35}}}+\sqrt{\frac{\frac8{35}}{\frac{18}{35}}}=\\\sqrt{\frac{18}{35}\cdot\frac{35}8}+\sqrt{\frac{8}{35}\cdot\frac{35}{18}}=\\\sqrt{\frac{9}{4}}+\sqrt{\frac49}=\frac32+\frac23=\frac{13}6[/tex3]
Então [tex3]x_1=\frac9{35}[/tex3] é raiz.

Dessa forma, [tex3]S=\left\{\frac{2}{15},\frac9{35}\right\}[/tex3]

Espero ter ajudado :).



Jogar Minecraft é melhor do que viver. '-'

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