Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica Tópico resolvido

[Heisenberg1]

A circunferência [tex3]\lambda[/tex3]

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[tex3]\lambda[/tex3]

passa pelos pontos [tex3]A(−1, −1)[/tex3]

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[tex3]A(−1, −1)[/tex3]

, [tex3]B(1,5)[/tex3]

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[tex3]B(1,5)[/tex3]

e [tex3]C(3,1)[/tex3]

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[tex3]C(3,1)[/tex3]

. A reta [tex3]r: x + 3y − 6 = 0[/tex3]

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[tex3]r: x + 3y − 6 = 0[/tex3]

e a circunferência [tex3]\lambda[/tex3]

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[tex3]\lambda[/tex3]

são secantes. A área do triângulo cujos vértices são a origem do sistema de coordenadas cartesianas, e os pontos de intersecção entre a reta r e a circunferência [tex3]\lambda[/tex3]

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[tex3]\lambda[/tex3]

, tem medida igual a:

a) 6 unidades de área
b) 12 unidades de área.
c) 4 unidades de área.
d) 10 unidades de área.

Resposta

---

Gab: A

[Babi123]

Heisenberg1, os dados estão incompreensíveis. Veja:

Screenshot_20200113-161308~2.png (157.52 KiB) Exibido 641 vezes

Não têm como adivinhar oq seja isso.

Tente usar o "Tex".

[mcarvalho]

Vamos lá, que esse é meio chatinho haha.

i) A circunferência tem equação de forma [tex3](x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2[/tex3]

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[tex3](x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2[/tex3]

, tal que x0 e y0 são as coordenadas do centro e R é o raio. Não conhecemos esses pontos, mas sabemos que os pontos 𝐴(−1, −1), 𝐵(1,5) e 𝐶(3,1), por pertencerem à circunferência, devem respeitar essa equação. Assim, podemos montar o sistema:

[tex3]\begin{cases}
(-1-x_0)^2+(-1-y_0)^2=R^2 \\
(1-x_0)^2+(5-y_0)^2=R^2 \\
(3-x_0)^2+(1-y_0)^2=R^2
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
(-1-x_0)^2+(-1-y_0)^2=R^2 \\
(1-x_0)^2+(5-y_0)^2=R^2 \\
(3-x_0)^2+(1-y_0)^2=R^2
\end{cases}[/tex3]

Em que eu coloquei, na equação 1, o ponto A, na equação 2, o B, e na 3, o ponto C. Resolvendo o sistema, obtemos [tex3]x_0=0;y_0=2;R=\sqrt{10}[/tex3]

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[tex3]x_0=0;y_0=2;R=\sqrt{10}[/tex3]

.

ii) Assim, a equação da circunferência, com os pontos conhecidos, será:
[tex3]x^2+(y-2)^2=10\rightarrow x^2+y^2-4y=6[/tex3]

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[tex3]x^2+(y-2)^2=10\rightarrow x^2+y^2-4y=6[/tex3]

Queremos os pontos de encontro entre essa circunferência e a reta r, que serão dois, já que r lhe é secante. Basta resolvermos o sistema composto pelas duas equações, a da circunferência e a da reta:
[tex3]\begin{cases}
x^2+y^2-4y=6 \\
x+3y-6=0
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
x^2+y^2-4y=6 \\
x+3y-6=0
\end{cases}[/tex3]

Em que teremos x=-3 quando y=3, e x=3 quando y=1, o que corresponde aos dois pontos no plano cartesiano de coordenadas (-3;3) e (3;1), respectivamente.

iii) Temos os três pontos pedidos (o terceiro, fornecido pelo enunciado, é a origem 0xy). Basta achar a área do triângulo. Por determinante:

[tex3]A=\frac{1}{2}\det\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
-3 & 3 & 1 \\
3 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{1}{2}\det\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
-3 & 3 & 1 \\
3 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Que, em módulo, resulta em 6.