Leandrovisk, eu vou tentar explicar melhor cada passagem.
O que vamos usar são só as definições de interseção, união e diferença de conjuntos.
[tex3]C\cup D=\{x:x\in C\ ou\ x\in D\}[/tex3]
e as outras duas você já as escreveu no post.
Pego um elemento [tex3]x[/tex3]
arbitrário de [tex3](A-B)\cup(A∩B)[/tex3]
, ou seja, [tex3]x\in((A-B)\cup(A∩B))[/tex3]
.
A partir daqui eu tenho duas opções para o [tex3]x[/tex3]
, [tex3]x\in(A-B)[/tex3]
ou [tex3]x\in(A\cap B)[/tex3]
.
Vamos analisar cada uma delas.
Se [tex3]x\in(A-B)[/tex3]
temos que [tex3]x\in A[/tex3]
e [tex3]x\not\in B[/tex3]
.
Se [tex3]x\in(A\cap B)[/tex3]
temos que [tex3]x\in A[/tex3]
e [tex3]\in B[/tex3]
.
Perceba que em qualquer um dos casos temos que [tex3]x\in A[/tex3]
. Daí como [tex3]x[/tex3]
foi escolhido de forma arbitrária temos que todo elemento do conjunto [tex3](A-B)\cup(A∩B)[/tex3]
é também um elemento de [tex3]A[/tex3]
e portanto podemos concluir que [tex3]((A-B)\cup(A∩B))\subset A[/tex3]
.
Agora vamos pegar um elemento [tex3]x[/tex3]
arbitrário de [tex3]A[/tex3]
, ou seja, [tex3]x\in A[/tex3]
.
Para qualquer elemento temos que ele pertence ou não a um conjunto. Então, temos que [tex3]x\in B[/tex3]
ou [tex3]x\not\in B[/tex3]
.
Vamos analisar o que acontece em cada em dos casos.
Se [tex3]x\in B[/tex3]
temos que [tex3]x\in A[/tex3]
e [tex3]x\in B[/tex3]
o que implica que [tex3]x\in(A\cap B)[/tex3]
dessa forma, [tex3]x\in((A-B)\cup(A\cap B))[/tex3]
Se [tex3]x\not\in B[/tex3]
temos que [tex3]x[/tex3]
está em [tex3]A[/tex3]
e não está em [tex3]B[/tex3]
então [tex3]x\in(A-B)[/tex3]
e portanto [tex3]x\in((A-B)\cup(A\cap B))[/tex3]
Daqui temos que qualquer que seja [tex3]x\in A[/tex3]
ele também está em [tex3](A-B)\cup(A\cap B)[/tex3]
, ou seja, todo elemento de [tex3]A[/tex3]
também é elemento de [tex3](A-B)\cup(A\cap B)[/tex3]
.
Espero ter ajudado
.
Se ainda não estiver claro pergunte novamente que tento ajudá-lo.
