Ensino Médio ⇒ Equação Irracional 7

[jeabud]

Sendo [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

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[tex3]b[/tex3]

números reais não nulos, resolva a equação:

[tex3]\sqrt{a^{2}+x\sqrt{b^{2}+x^{2}-a^{2}}}=x-a[/tex3]

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[tex3]\sqrt{a^{2}+x\sqrt{b^{2}+x^{2}-a^{2}}}=x-a[/tex3]

Resposta

---

gab:a< 0 e |b| ≥ |a| --> S = {0, [tex3]\frac{5a^{2}-b^{2}}{4a}[/tex3]

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[tex3]\frac{5a^{2}-b^{2}}{4a}[/tex3]

OBS: travei na condição de existência como sempre...rs

resolvendo a equação, temos:
x' = 0 (não serve) ou x'' = [tex3]\frac{5a^{2}-b^{2}}{4a}[/tex3]

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[tex3]\frac{5a^{2}-b^{2}}{4a}[/tex3]

porém, travei na condição de existência (não se se está certo)
CE:

b² + x² – a² ≥ 0 x – a > 0
x² > a² – b² x > a

Como a ≠ 0, b ≠ 0 e a² – b² ≥ 0, temos:
a² – b² > 0
a² > b²

x² > 0
x > 0

x > a > b > 0

[danjr5]

Olá jeabud!

[tex3]\mathsf{\sqrt{a^2 + x\sqrt{b^2 + x^2 - a^2}} = x - a}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\sqrt{a^2 + x\sqrt{b^2 + x^2 - a^2}} = x - a}[/tex3]

Elevando ao quadrado,

[tex3]\\ \mathsf{a^2 + x\sqrt{b^2 + x^2 - a^2} = x^2 - 2ax + a^2} \\\\ \mathsf{x\sqrt{b^2 + x^2 - a^2} = x^2 - 2ax}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\\ \mathsf{a^2 + x\sqrt{b^2 + x^2 - a^2} = x^2 - 2ax + a^2} \\\\ \mathsf{x\sqrt{b^2 + x^2 - a^2} = x^2 - 2ax}[/tex3]

Elevando ao quadrado,

[tex3]\\ \mathsf{x^2 \cdot (b^2 + x^2 - a^2) = x^4 - 4ax^3 + 4a^2x^2} \\\\ \mathsf{b^2x^2 + \cancel{x^4} - a^2x^2 = \cancel{x^4} - 4ax^3 + 4a^2x^2} \\\\ \mathsf{4ax^3 + b^2x^2 - 5a^2x^2 = 0} \\\\ \mathsf{(4ax + b^2 - 5a^2) \cdot x^2 = 0} \\\\ \mathsf{S = \left \{ 0, \frac{5a^2 - b^2}{4a}\right \}}[/tex3]

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[tex3]\\ \mathsf{x^2 \cdot (b^2 + x^2 - a^2) = x^4 - 4ax^3 + 4a^2x^2} \\\\ \mathsf{b^2x^2 + \cancel{x^4} - a^2x^2 = \cancel{x^4} - 4ax^3 + 4a^2x^2} \\\\ \mathsf{4ax^3 + b^2x^2 - 5a^2x^2 = 0} \\\\ \mathsf{(4ax + b^2 - 5a^2) \cdot x^2 = 0} \\\\ \mathsf{S = \left \{ 0, \frac{5a^2 - b^2}{4a}\right \}}[/tex3]

No entanto, elevamos a equação irracional algumas vezes ao quadrado, e, devemos verificar se as raízes encontradas satisfazem a equação...! Segue,


[*] Verificando se ZERO é uma raiz:

[tex3]\\ \mathsf{\sqrt{a^2 + x\sqrt{b^2 + x^2 - a^2}} = x - a} \\\\ \mathsf{\sqrt{a^2 + 0} = 0 - a} \\\\ \mathsf{\sqrt{a^2} = - a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\\ \mathsf{\sqrt{a^2 + x\sqrt{b^2 + x^2 - a^2}} = x - a} \\\\ \mathsf{\sqrt{a^2 + 0} = 0 - a} \\\\ \mathsf{\sqrt{a^2} = - a}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{Obs.: Da \ definic\tilde{a}o \ de \ m\acute{o}dulo, \ sabemos \ que: \\
|a| = \begin{cases}\mathsf{a, \qquad se \ a \geq 0} \\ \mathsf{- a, \quad \ se \ a < 0}\end{cases}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\mathsf{Obs.: Da \ definic\tilde{a}o \ de \ m\acute{o}dulo, \ sabemos \ que: \\
|a| = \begin{cases}\mathsf{a, \qquad se \ a \geq 0} \\ \mathsf{- a, \quad \ se \ a < 0}\end{cases}}}[/tex3]

Com efeito, tiramos que: [tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\forall \ a < 0, 0 \ \acute{e} \ uma \ soluc\tilde{a}o \ da \ equac\tilde{a}o}}}!![/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{\forall \ a < 0, 0 \ \acute{e} \ uma \ soluc\tilde{a}o \ da \ equac\tilde{a}o}}}!![/tex3]

[**] Verificando se [tex3]\displaystyle \mathsf{\frac{5a^2 - b^2}{4a}}[/tex3]

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[tex3]\displaystyle \mathsf{\frac{5a^2 - b^2}{4a}}[/tex3]

é raiz:

[tex3]\\ \mathsf{\sqrt{a^2 + x\sqrt{b^2 + x^2 - a^2}} = x - a} \\\\ \mathsf{\sqrt{a^2 + \left (\frac{5a^2 - b^2}{4a} \right )\cdot \sqrt{b^2 + \left ( \frac{5a^2 - b^2}{4a} \right )^2 - a^2}} = \frac{5a^2 - b^2}{4a} - a} \\\\ \mathsf{\vdots} \\\\ \mathsf{\sqrt{a^2 + \left ( \frac{5a^2 - b^2}{4a} \right ) \cdot \sqrt{\frac{ \left (3a^2 + b^2 \right )^2}{16a^2}}} = \frac{a^2 - b^2}{4a}}[/tex3]

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[tex3]\\ \mathsf{\sqrt{a^2 + x\sqrt{b^2 + x^2 - a^2}} = x - a} \\\\ \mathsf{\sqrt{a^2 + \left (\frac{5a^2 - b^2}{4a} \right )\cdot \sqrt{b^2 + \left ( \frac{5a^2 - b^2}{4a} \right )^2 - a^2}} = \frac{5a^2 - b^2}{4a} - a} \\\\ \mathsf{\vdots} \\\\ \mathsf{\sqrt{a^2 + \left ( \frac{5a^2 - b^2}{4a} \right ) \cdot \sqrt{\frac{ \left (3a^2 + b^2 \right )^2}{16a^2}}} = \frac{a^2 - b^2}{4a}}[/tex3]

Uma vez que [tex3]\boxed{\mathsf{a < 0}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\mathsf{a < 0}}[/tex3]

, temos que:

[tex3]\mathsf{\sqrt{\frac{(3a^2 + b^2)^2}{16a^2}} = \left | \frac{3a^2 + b^2}{4a} \right | = \frac{3a^2 + b^2}{- 4a}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\sqrt{\frac{(3a^2 + b^2)^2}{16a^2}} = \left | \frac{3a^2 + b^2}{4a} \right | = \frac{3a^2 + b^2}{- 4a}}[/tex3]

Por conseguinte,

[tex3]\\ \mathsf{\sqrt{a^2 + \left ( \frac{5a^2 - b^2}{4a} \right ) \cdot \left ( \frac{3a^2 + b^2}{- 4a} \right )} = \frac{a^2 - b^2}{4a}} \\\\ \mathsf{\sqrt{a^2 + \frac{15a^4 + 5a^2b^2 - 3a^2b^2 - b^4}{- 16a^2}} = \frac{a^2 - b^2}{4a}} \\\\ \mathsf{\sqrt{\frac{16a^4 - 15a^4 - 2a^2b^2 + b^4}{16a^2}} = \frac{a^2 - b^2}{4a}} \\\\ \mathsf{\sqrt{\frac{a^4 - 2a^2b^2 + b^4}{16a^2}} = \frac{a^2 - b^2}{4a}} \\\\ \mathsf{\sqrt{\frac{(a^2 - b^2)^2}{16a^2}} = \frac{a^2 - b^2}{4a}} \\\\ \mathsf{\sqrt{ \left ( \frac{a^2 - b^2}{4a} \right )^2} = \frac{a^2 - b^2}{4a}} \\\\ \mathsf{\left | \frac{a^2 - b^2}{4a} \right | = \frac{a^2 - b^2}{4a}}[/tex3]

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[tex3]\\ \mathsf{\sqrt{a^2 + \left ( \frac{5a^2 - b^2}{4a} \right ) \cdot \left ( \frac{3a^2 + b^2}{- 4a} \right )} = \frac{a^2 - b^2}{4a}} \\\\ \mathsf{\sqrt{a^2 + \frac{15a^4 + 5a^2b^2 - 3a^2b^2 - b^4}{- 16a^2}} = \frac{a^2 - b^2}{4a}} \\\\ \mathsf{\sqrt{\frac{16a^4 - 15a^4 - 2a^2b^2 + b^4}{16a^2}} = \frac{a^2 - b^2}{4a}} \\\\ \mathsf{\sqrt{\frac{a^4 - 2a^2b^2 + b^4}{16a^2}} = \frac{a^2 - b^2}{4a}} \\\\ \mathsf{\sqrt{\frac{(a^2 - b^2)^2}{16a^2}} = \frac{a^2 - b^2}{4a}} \\\\ \mathsf{\sqrt{ \left ( \frac{a^2 - b^2}{4a} \right )^2} = \frac{a^2 - b^2}{4a}} \\\\ \mathsf{\left | \frac{a^2 - b^2}{4a} \right | = \frac{a^2 - b^2}{4a}}[/tex3]

Sabemos que [tex3]\mathsf{a < 0}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{a < 0}[/tex3]

... E quanto ao numerador??! Para que a igualdade seja satisfeita ele deverá ser negativo (ou nulo). Portanto,

[tex3]\\ \mathsf{a^2 - b^2 \leq 0} \\\\ \mathsf{b^2 - a^2 \geq 0} \\\\ \boxed{\mathsf{|b| \geq |a|}}[/tex3]

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[tex3]\\ \mathsf{a^2 - b^2 \leq 0} \\\\ \mathsf{b^2 - a^2 \geq 0} \\\\ \boxed{\mathsf{|b| \geq |a|}}[/tex3]

Ou seja, [tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{Sempre \ |b| \geq |a|, \forall \ a , \frac{5a^2 - b^2}{4a} \ tamb\acute{e}m \ \acute{e} \ uma \ soluc\tilde{a}o \ da \ equac\tilde{a}o}}}!![/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{Sempre \ |b| \geq |a|, \forall \ a , \frac{5a^2 - b^2}{4a} \ tamb\acute{e}m \ \acute{e} \ uma \ soluc\tilde{a}o \ da \ equac\tilde{a}o}}}!![/tex3]

[jeabud]

danjr5,

Vc testou as raizes, isto é, x = 0 e foi falso, depois x = 5a^2-b^2/4 e foi vdd...até aí ok...

Mas pq depois pegou se a < 0??? A partir daí viajei

Grato pela ajuda

[danjr5]

jeabud, na resolução que apresentei, concluí que [tex3]\mathsf{x = 0}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{x = 0}[/tex3]

é uma solução quando [tex3]\mathsf{a < 0}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{a < 0}[/tex3]

!!

Como você está chegando na conclusão que zero não é uma solução?

[jeabud]

danjr5, viajei perdao pela falha

EA80D44E-9892-41FF-9848-F0D1FAC3173F.jpeg (98.19 KiB) Exibido 486 vezes

[danjr5]

jeabud, isso mesmo!