Ensino Médio ⇒ Bolas idênticas em linha

[paulo testoni]

De quantas maneiras podemos arranjar 4 bolas vermelhas idênticas, 4 bolas azuis idênticas e 4 bolas verdes idênticas em fila de tal forma que cada bola seja a adjacente a pelo uma da mesma cor? R; 120

[AlexandreHDK]

Bom, para que as bolas sempre tenham pelo menos 1 identica de mesma cor, só podemos agrupá-las de forma que fiquem sempre 2 de mesma cor juntas ou as 4 de mesma cor juntas, pois se por um acaso 3 ficassem juntas, a 4ª bola ficaria isolada. Podemos considerar que existem então 6 pares de bolinhas coloridas, sendo que estes pares possuem repetições.
Assim, temos que calcular as permutações de 6 elementos, sendo que possuem 2 elementos vermelhos iguais, 2 verdes iguais e 2 azuis iguais:
[tex3]P_6^{2,2,2}=\frac{6!}{2!.2!.2!}=\frac{6.5.\cancel{4}.3.\cancel{2}.1}{\cancel{2}.1.\cancel{2}.1.\cancel{2}.1}=6.5.3=90[/tex3]

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[tex3]P_6^{2,2,2}=\frac{6!}{2!.2!.2!}=\frac{6.5.\cancel{4}.3.\cancel{2}.1}{\cancel{2}.1.\cancel{2}.1.\cancel{2}.1}=6.5.3=90[/tex3]

Bom, essa foi a solução que encontrei, não bateu com teu gabarito. Pelo menos a ideia de agrupar em pares me parece fazer bastante sentido, se alguém puder me indicar onde ficou o furo do meu raciocínio eu agradeço.