f(f(n)) = 3n, ∀n ∈ N. Analise as seguintes afirmações:
I. f é injetora;
II. f(1) = 2;
III. f(2) = 3;
IV. f(3) = 4.
Quantas são verdadeiras?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
Resposta
Gabarito: D
Ensino Médio ⇒ Função Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Dez 2019
06
20:27
Função
Seja f: N → N uma função estritamente crescente tal que
f(f(n)) = 3n, ∀n ∈ N. Analise as seguintes afirmações:
I. f é injetora;
II. f(1) = 2;
III. f(2) = 3;
IV. f(3) = 4.
Quantas são verdadeiras?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
Gabarito: D
f(f(n)) = 3n, ∀n ∈ N. Analise as seguintes afirmações:
I. f é injetora;
II. f(1) = 2;
III. f(2) = 3;
IV. f(3) = 4.
Quantas são verdadeiras?
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
Gabarito: D
-
deOliveira 
- Mensagens: 978
- Registrado em: Qui 31 Ago, 2017 08:06
- Última visita: 05-03-23
- Localização: São José dos Campos
Dez 2019
06
21:09
Re: Função
f é estritamente crescente, então temos, por definição, que para todo [tex3]m,n\in\mathbb{N} [/tex3]
com [tex3]m < n [/tex3]
que [tex3]f(m) < f(n) [/tex3]
. Então, como consequência temos que [tex3]f(m) \neq f(n)[/tex3]
para [tex3]m \neq n[/tex3]
, logo f é injetora e a afirmação I está correta.
Analisemos a afirmação II [tex3]f(1)=2[/tex3] . Suponha, por absurdo, que a afirmação é falsa, então temos que [tex3]f(1)=1[/tex3] ou [tex3]f(1)=n[/tex3] com [tex3]n \in \mathbb{N}, n>2[/tex3] .
Se [tex3]f(1)=1[/tex3] temos que [tex3]f(f(1))=3*1=3[/tex3] o que é uma contradição pois [tex3]f(f(1))=f(1)=1[/tex3] .
Se [tex3]f(1)=n[/tex3] com [tex3]n \in \mathbb{N}, n>2[/tex3] temos que [tex3]f(n)=(f(1))=3*1=3[/tex3] o que é uma contradição com a hipótese de f ser estritamente crescente pois [tex3]n>2 \rightarrow n>1[/tex3] e também [tex3]n>2 \rightarrow \ n\geq 3[/tex3] então temos que [tex3]f(1) \geq f(n)[/tex3] sendo que [tex3]1<n[/tex3] .
Dessa forma, provamos por absurdo que [tex3]f(1)=2[/tex3] e portanto a afirmação II está correta.
[tex3]f(2)=f(f(1))=3*1=3[/tex3] , então a afirmação III está correta.
[tex3]f(3)=f(f(2))=3*2=6\neq 4[/tex3] , então a afirmação IV não está correta.
Portanto, temos 3 afirmações corretas.
Espero ter ajudado.
Analisemos a afirmação II [tex3]f(1)=2[/tex3] . Suponha, por absurdo, que a afirmação é falsa, então temos que [tex3]f(1)=1[/tex3] ou [tex3]f(1)=n[/tex3] com [tex3]n \in \mathbb{N}, n>2[/tex3] .
Se [tex3]f(1)=1[/tex3] temos que [tex3]f(f(1))=3*1=3[/tex3] o que é uma contradição pois [tex3]f(f(1))=f(1)=1[/tex3] .
Se [tex3]f(1)=n[/tex3] com [tex3]n \in \mathbb{N}, n>2[/tex3] temos que [tex3]f(n)=(f(1))=3*1=3[/tex3] o que é uma contradição com a hipótese de f ser estritamente crescente pois [tex3]n>2 \rightarrow n>1[/tex3] e também [tex3]n>2 \rightarrow \ n\geq 3[/tex3] então temos que [tex3]f(1) \geq f(n)[/tex3] sendo que [tex3]1<n[/tex3] .
Dessa forma, provamos por absurdo que [tex3]f(1)=2[/tex3] e portanto a afirmação II está correta.
[tex3]f(2)=f(f(1))=3*1=3[/tex3] , então a afirmação III está correta.
[tex3]f(3)=f(f(2))=3*2=6\neq 4[/tex3] , então a afirmação IV não está correta.
Portanto, temos 3 afirmações corretas.
Espero ter ajudado.
Saudações.
Dez 2019
09
09:34
Re: Função
Bom dia.
Poderia me explicar a primeira desigualdade, por favor.
Poderia me explicar a primeira desigualdade, por favor.
deOliveira escreveu: ↑Sex 06 Dez, 2019 21:09então temos que [tex3]f(1) \geq f(n)[/tex3] sendo que [tex3]1<n[/tex3] .
-
deOliveira
- Mensagens: 978
- Registrado em: Qui 31 Ago, 2017 08:06
- Última visita: 05-03-23
- Localização: São José dos Campos
Dez 2019
09
11:49
Re: Função
Esse é o caso em que supomos que [tex3]f(1)=n[/tex3]
em que [tex3]n\in \mathbb {N}, n>2[/tex3]
. Bom se [tex3]n[/tex3]
é natural e maior que dois temos duas coisas: i) [tex3]n>1[/tex3]
(se é maior que dois é maior que um) e ii)[tex3]n\geq 3[/tex3]
Então temos que [tex3]f(1)=n[/tex3]
E [tex3]f(n)=f(f(1))=3[/tex3] pelo jeito com que f foi definida no enunciado.
Usando ii) temos que [tex3]n\geq f(n)[/tex3] e como [tex3]f(1)=n[/tex3] podemos escrever [tex3]f(1)\geq f(n)[/tex3] o que não pode acontecer pois a função é estritamente crescente e [tex3]n>1[/tex3]
Então temos que [tex3]f(1)=n[/tex3]
E [tex3]f(n)=f(f(1))=3[/tex3] pelo jeito com que f foi definida no enunciado.
Usando ii) temos que [tex3]n\geq f(n)[/tex3] e como [tex3]f(1)=n[/tex3] podemos escrever [tex3]f(1)\geq f(n)[/tex3] o que não pode acontecer pois a função é estritamente crescente e [tex3]n>1[/tex3]
Saudações.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 1 Respostas
- 9978 Exibições
-
Última msg por AnthonyC
-
- 2 Respostas
- 12292 Exibições
-
Última msg por inguz
-
- 0 Respostas
- 783 Exibições
-
Última msg por Idocrase
-
- 2 Respostas
- 974 Exibições
-
Última msg por LostWalker
-
- 1 Respostas
- 266 Exibições
-
Última msg por petras
