Ensino Médio ⇒ Desenho na forma de três circunferências Tópico resolvido

[Tulio150]

Não conseguir resolver esta questão
Alguém poderia me ajudar?


João observou que no piso da sala de matemática há um desenho na forma de três circunferências de modo que cada uma tangencia externamente as outras duas. Duas dessas circunferências têm raio 1 m e a terceira tem raio (( 2^1/2) - 1)m. A área, em m^2, da região limitada pelas três circunferências externa a cada uma delas é:

Agradeço qualquer ajuda

[petras]

Tulio150,

[tex3]\mathsf{S = S_{ABC}-2S_{setor~ANP}-S_{SetorPCM}\\ \Delta_{ABC} ~é~retângulo~isósceles\rightarrow S_{ABC}=\frac{(\sqrt{2}-1+1)(\sqrt{2}-1+1)}{2}=1\\
S_{setor ANP}=S_{setorBNM}= \frac{\pi R^2}{8} = \frac{\pi .1}{8} \rightarrow S = \frac{\pi}{8}\\
S_{setor PCM}= \frac{\pi r^2}{4} = \frac{\pi (\sqrt{2}-1)^2}{4} \rightarrow S = \pi(\frac{3-2\sqrt{2}}{4})\\
S=1-\frac{2\pi}{8}-\pi(\frac{3-2\sqrt{2}}{4})=1-\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}+\frac{\sqrt{2}\pi}{2}=\\
1 - \pi+\frac{\sqrt{2}\pi}{2}=\boxed{\mathsf{\color{Red}1-\frac{\pi(2-\sqrt{2})}{2} }}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{S = S_{ABC}-2S_{setor~ANP}-S_{SetorPCM}\\ \Delta_{ABC} ~é~retângulo~isósceles\rightarrow S_{ABC}=\frac{(\sqrt{2}-1+1)(\sqrt{2}-1+1)}{2}=1\\
S_{setor ANP}=S_{setorBNM}= \frac{\pi R^2}{8} = \frac{\pi .1}{8} \rightarrow S = \frac{\pi}{8}\\
S_{setor PCM}= \frac{\pi r^2}{4} = \frac{\pi (\sqrt{2}-1)^2}{4} \rightarrow S = \pi(\frac{3-2\sqrt{2}}{4})\\
S=1-\frac{2\pi}{8}-\pi(\frac{3-2\sqrt{2}}{4})=1-\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}+\frac{\sqrt{2}\pi}{2}=\\
1 - \pi+\frac{\sqrt{2}\pi}{2}=\boxed{\mathsf{\color{Red}1-\frac{\pi(2-\sqrt{2})}{2} }}}[/tex3]

[Tulio150]

Obrigado Petras

Só não entendi Porque o triângulo ABC tem 90 graus

[Tulio150]

Perdão
quis dizer o ângulo C do triângulo ABC

[petras]

Tulio150,

[tex3]\mathsf{\Delta_{ABC}\rightarrow AB^2=AC^2+BC^2\rightarrow 2^2=(\sqrt{2}-1+1)^2+(\sqrt{2}-1+1)^2=\\
4 = (\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2\rightarrow 4 = 4\therefore Triângulo~Retângulo}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\Delta_{ABC}\rightarrow AB^2=AC^2+BC^2\rightarrow 2^2=(\sqrt{2}-1+1)^2+(\sqrt{2}-1+1)^2=\\
4 = (\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2\rightarrow 4 = 4\therefore Triângulo~Retângulo}[/tex3]

Como BC = AC triângulo retângulo isósceles. [tex3]\mathsf{\hat{A}\cong\hat{B}=45^o ~e~\hat{C}=90^o}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\hat{A}\cong\hat{B}=45^o ~e~\hat{C}=90^o}[/tex3]

[Tulio150]

OK
PERFEITO!

Obrigado!