Para [tex3]x,y[/tex3]
reais não negativos, julgue os itens:
I) [tex3]\(\frac{a+b}{2}\)^2\geq\frac{a^2+b^2}{2}[/tex3]
II) [tex3]\(\frac{a+b}{2}\)^2<\frac{a^2-b^2}{2}[/tex3]
III)[tex3]\(\frac{a+b}{2}\)^2>\frac{a^2-b^2}{2}[/tex3]
IV) [tex3]\(\frac{a-b}{2}\)^2<\frac{a^2-b^2}{2}[/tex3]
V) [tex3]\(\frac{a+b}{2}\)^2<\frac{a^2+b^2}{2}[/tex3]
Quais são verdadeiras?
Ensino Médio ⇒ Desigualdades Tópico resolvido
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Matheusrpb 
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21
01:39
Re: Desigualdades
Babi123, boa noite !
I.
[tex3]\(\frac{a + b}2\)^2 ≥ \frac{a^2 + b^2}2[/tex3]
[tex3]\(\frac{a+b}2\)^2 \cdot 2 ≥ a^2 + b^2 [/tex3]
[tex3]\frac{(a+b)^2}2 + 2ab≥ a^2 + 2ab + b^2[/tex3]
[tex3]\frac{(a+b)^2}2 + 2ab ≥ (a+b)^2 [/tex3]
[tex3]0 ≥ \frac{(a + b)^2}2 - 2ab[/tex3]
[tex3]0 ≥ \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}2 [/tex3]
[tex3]0≥ \frac{(a-b)^2}2 \rightarrow Absurdo \space ! \space \rightarrow \boxed F[/tex3]
II.
[tex3]\(\frac{a+b}2\)^2 < \frac{a^2 - b^2}2 [/tex3]
[tex3]\(\frac{a+b}2\)^2 \cdot 2 < a^2 - b^2 [/tex3]
[tex3]\frac{(a + b)^2}2 < (a+b)(a-b) [/tex3]
[tex3](a+b)(a+b) < 2(a+b)(a-b) [/tex3]
[tex3](a+b)(a+b) - 2(a+b)(a-b) + (a-b)(a-b) < (a-b)(a-b) [/tex3]
[tex3]\[(a+b) - (a-b)\]^2 < (a-b)^2[/tex3]
[tex3](2b)^2<(a-b)^2[/tex3]
Para [tex3]a ≤3b [/tex3] , a afirmação é falsa.
[tex3]\boxed F [/tex3]
III.
As contas feitas na afirmação II também servem para está:
[tex3](2b)^2 > (a-b)^2 [/tex3]
Para [tex3]a≥3b [/tex3] , a afirmação é falsa.
[tex3]\boxed F [/tex3]
IV.
[tex3]\(\frac{a - b}2\)^2 < \frac{a^2 - b^2}2 [/tex3]
[tex3]\(\frac{a-b}2\)^2 \cdot 2 < a^2 - b^2 [/tex3]
[tex3]\frac{(a-b)^2}2 < (a+b)(a-b) [/tex3]
[tex3](a-b)^2 -2(a+b)(a-b) < 0[/tex3]
[tex3](a-b)^2 -2(a+b)(a-b) + (a+b)^2 < (a+b)^2[/tex3]
[tex3]\[(a-b)-(a+b)\]^2 <(a+b)^2 [/tex3]
[tex3](-2b)^2 < (a+b)^2[/tex3]
Para [tex3]a ≤ b [/tex3] , a afirmação é falsa.
[tex3]\boxed F [/tex3]
V.
[tex3]\(\frac{a+b}2\)^2 < \frac{a^2 + b^2}2 [/tex3]
[tex3]\(\frac{a+b}2\)^2 \cdot 2 < a^2 + b^2 [/tex3]
[tex3]\frac{(a+b)^2}2 + 2ab< a^2 + 2ab + b^2[/tex3]
[tex3]\frac{(a+b)^2}2 + 2ab < (a+b)^2 [/tex3]
[tex3]0< \frac{(a+b)^2}2 - 2ab [/tex3]
[tex3]0< \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{2}[/tex3]
[tex3]0 < \frac{(a-b)^2}2 [/tex3]
Para [tex3]a = b = 0 [/tex3] , a afirmação é falsa.
[tex3]\boxed F[/tex3]
I.
[tex3]\(\frac{a + b}2\)^2 ≥ \frac{a^2 + b^2}2[/tex3]
[tex3]\(\frac{a+b}2\)^2 \cdot 2 ≥ a^2 + b^2 [/tex3]
[tex3]\frac{(a+b)^2}2 + 2ab≥ a^2 + 2ab + b^2[/tex3]
[tex3]\frac{(a+b)^2}2 + 2ab ≥ (a+b)^2 [/tex3]
[tex3]0 ≥ \frac{(a + b)^2}2 - 2ab[/tex3]
[tex3]0 ≥ \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}2 [/tex3]
[tex3]0≥ \frac{(a-b)^2}2 \rightarrow Absurdo \space ! \space \rightarrow \boxed F[/tex3]
II.
[tex3]\(\frac{a+b}2\)^2 < \frac{a^2 - b^2}2 [/tex3]
[tex3]\(\frac{a+b}2\)^2 \cdot 2 < a^2 - b^2 [/tex3]
[tex3]\frac{(a + b)^2}2 < (a+b)(a-b) [/tex3]
[tex3](a+b)(a+b) < 2(a+b)(a-b) [/tex3]
[tex3](a+b)(a+b) - 2(a+b)(a-b) + (a-b)(a-b) < (a-b)(a-b) [/tex3]
[tex3]\[(a+b) - (a-b)\]^2 < (a-b)^2[/tex3]
[tex3](2b)^2<(a-b)^2[/tex3]
Para [tex3]a ≤3b [/tex3] , a afirmação é falsa.
[tex3]\boxed F [/tex3]
III.
As contas feitas na afirmação II também servem para está:
[tex3](2b)^2 > (a-b)^2 [/tex3]
Para [tex3]a≥3b [/tex3] , a afirmação é falsa.
[tex3]\boxed F [/tex3]
IV.
[tex3]\(\frac{a - b}2\)^2 < \frac{a^2 - b^2}2 [/tex3]
[tex3]\(\frac{a-b}2\)^2 \cdot 2 < a^2 - b^2 [/tex3]
[tex3]\frac{(a-b)^2}2 < (a+b)(a-b) [/tex3]
[tex3](a-b)^2 -2(a+b)(a-b) < 0[/tex3]
[tex3](a-b)^2 -2(a+b)(a-b) + (a+b)^2 < (a+b)^2[/tex3]
[tex3]\[(a-b)-(a+b)\]^2 <(a+b)^2 [/tex3]
[tex3](-2b)^2 < (a+b)^2[/tex3]
Para [tex3]a ≤ b [/tex3] , a afirmação é falsa.
[tex3]\boxed F [/tex3]
V.
[tex3]\(\frac{a+b}2\)^2 < \frac{a^2 + b^2}2 [/tex3]
[tex3]\(\frac{a+b}2\)^2 \cdot 2 < a^2 + b^2 [/tex3]
[tex3]\frac{(a+b)^2}2 + 2ab< a^2 + 2ab + b^2[/tex3]
[tex3]\frac{(a+b)^2}2 + 2ab < (a+b)^2 [/tex3]
[tex3]0< \frac{(a+b)^2}2 - 2ab [/tex3]
[tex3]0< \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{2}[/tex3]
[tex3]0 < \frac{(a-b)^2}2 [/tex3]
Para [tex3]a = b = 0 [/tex3] , a afirmação é falsa.
[tex3]\boxed F[/tex3]
Última edição: Matheusrpb (Qui 21 Nov, 2019 02:01). Total de 1 vez.
Por que você me deixa tão solto ? E se eu me interessar por alguém ?
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