Contagem
Enviado: Sex 15 Nov, 2019 12:34
Para [tex3]x, y[/tex3]
distintos e [tex3]x,y \in \mathbb{N^*}[/tex3]
resolver:
[tex3]x+y<20[/tex3]
[tex3]x+y<20[/tex3]
Como [tex3]x[/tex3] e [tex3]y,[/tex3] são naturais não nulos, vamos começar realizar uma mudança de variável de sorte que [tex3]x = x^{'} + 1[/tex3] e [tex3]y = y^{'} + 1.[/tex3] Assim, a inequação original se transforma em [tex3]x^{'} + y^{'} \leq 17.[/tex3]
Agora, para cada solução inteira não negativa, defina-se a folga da solução por [tex3]f = 17 - \( x^{'} + y^{'} \). [/tex3]
O seguinte quadro mostra algumas soluções e as respectivas folgas.
[tex3]\begin{array}{ccccccccc}
x^{'} & y^{'} & x^{'} + y^{'} & f \\
10 & 7 & 17 & 0 \\
15 & 0 & 15 & 2 \\
13 & 2 & 15 & 2 \\
7 & 3 & 10 & 7 \\
\end{array}[/tex3]
x^{'} & y^{'} & x^{'} + y^{'} & f \\
10 & 7 & 17 & 0 \\
15 & 0 & 15 & 2 \\
13 & 2 & 15 & 2 \\
7 & 3 & 10 & 7 \\
\end{array}[/tex3]
Existe uma relação biunívoca entre as soluções inteiras não negativas de [tex3]x^{'} + y^{'} \leq 17[/tex3] e as soluções inteiras não negativas de [tex3]x^{'} + y^{'} + f = 17.[/tex3]
Portanto, o número de soluções inteiras não negativas da inequação [tex3]x^{'} + y^{'} \leq 17[/tex3] é igual ao número de soluções inteiras não negativas de [tex3]x^{'} + y^{'} + f = 17[/tex3] que é [tex3]CR^{17}_3 = P_{19}^{17, \, 2} = 171.[/tex3] Por fim, basta retirar os casos em que [tex3]x^{'} = y^{'}.[/tex3]
Acredito que a resposta seja [tex3]171 - 9 = 162.[/tex3]