Ensino MédioContagem Tópico resolvido

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Babi123
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Nov 2019 15 12:34

Contagem

Mensagem não lida por Babi123 »

Para [tex3]x, y[/tex3] distintos e [tex3]x,y \in \mathbb{N^*}[/tex3] resolver:
[tex3]x+y<20[/tex3]




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MateusQqMD
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Nov 2019 15 13:39

Re: Contagem

Mensagem não lida por MateusQqMD »

E aí, Babi.

Como [tex3]x[/tex3] e [tex3]y,[/tex3] são naturais não nulos, vamos começar realizar uma mudança de variável de sorte que [tex3]x = x^{'} + 1[/tex3] e [tex3]y = y^{'} + 1.[/tex3] Assim, a inequação original se transforma em [tex3] x^{'} + y^{'} \leq 17.[/tex3]

Agora, para cada solução inteira não negativa, defina-se a folga da solução por [tex3]f = 17 - \( x^{'} + y^{'} \). [/tex3]

O seguinte quadro mostra algumas soluções e as respectivas folgas.

[tex3]\begin{array}{ccccccccc}
x^{'} & y^{'} & x^{'} + y^{'} & f \\
10 & 7 & 17 & 0 \\
15 & 0 & 15 & 2 \\
13 & 2 & 15 & 2 \\
7 & 3 & 10 & 7 \\
\end{array}[/tex3]

Existe uma relação biunívoca entre as soluções inteiras não negativas de [tex3]x^{'} + y^{'} \leq 17[/tex3] e as soluções inteiras não negativas de [tex3]x^{'} + y^{'} + f = 17.[/tex3]

Portanto, o número de soluções inteiras não negativas da inequação [tex3]x^{'} + y^{'} \leq 17[/tex3] é igual ao número de soluções inteiras não negativas de [tex3]x^{'} + y^{'} + f = 17[/tex3] que é [tex3]CR^{17}_3 = P_{19}^{17, \, 2} = 171.[/tex3] Por fim, basta retirar os casos em que [tex3]x^{'} = y^{'}.[/tex3]

Acredito que a resposta seja [tex3]171 - 9 = 162.[/tex3]




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MateusQqMD
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Nov 2019 15 13:44

Re: Contagem

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Outra solução:

As soluções inteiras não negativas de [tex3] x^{'} + y^{'} \leq 17[/tex3] dividem-se em vários grupos: soluções onde [tex3]x^{'} + y^{'} = 17,[/tex3] onde [tex3]x^{'} + y^{'} = 16,[/tex3] ..., [tex3]x^{'} + y^{'} = 0.[/tex3] A resposta é a soma de todas as soluções que satisfazem esses casos menos os casos em que [tex3]x^{'} = y^{'}.[/tex3]




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