Se as circunferências [tex3]x^2+y^2-16x-20y+164=r^2[/tex3]
e [tex3](x-4)^2+(y-7)^2=36[/tex3]
se interceptam em dois pontos distintos, então:
a) [tex3]r=11[/tex3]
b) [tex3]1< r <11[/tex3]
c) [tex3]r>11[/tex3]
d) [tex3]0< r<1[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica - Circunferências Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2019
12
17:30
Re: Geometria Analítica - Circunferências
Vamos chamar a primeira circunferência de A e a segunda de B. Escrevendo A na forma reduzida temos [tex3](x-8)^2+(y-10)^2=r^2[/tex3]
. Assim, a A tem centro em [tex3](8,10)[/tex3]
e raio [tex3]r[/tex3]
. A circunferência B tem centro em [tex3](4,7)[/tex3]
e raio [tex3]6[/tex3]
. A distância do centro de A ao centro de B é [tex3]5[/tex3]
, basta calcular a distância entre os dois centros para descobrir isso (distância entre pontos). Se o raio de B é 6, ela "passa" o centro de A em 1 unidade. Logo, para tocar em dois pontos, o raio da primeira circunferência tem que ser maior que 1, por que se for 1 tangenciará apenas em 1 ponto, mas A não pode crescer a ponto de "englobar" a segunda circunferência, se o raio for igual a 11, tangenciará a segunda circunferência, pois, a distância do centro de A a B é 5 e o raio de B é 6, temos então [tex3]5+6=11[/tex3]
. Logo, teremos que ter [tex3]1<r<11[/tex3]
.
Nesse link você consegue visualizar melhor a resposta, o porquê do raio ter que ser maior que 1 e menor que 11:
https://www.geogebra.org/graphing/mjrtgkgx
Nesse link você consegue visualizar melhor a resposta, o porquê do raio ter que ser maior que 1 e menor que 11:
https://www.geogebra.org/graphing/mjrtgkgx
Última edição: DanielDC (Sáb 12 Out, 2019 17:48). Total de 3 vezes.
Out 2019
12
17:32
Re: Geometria Analítica - Circunferências
Completando quadrados na primeira equação chegamos a circunferência [tex3](x-8)^2+(y-10)^2=r^2[/tex3]
de raio [tex3]r[/tex3]
e centro [tex3](8, 10)[/tex3]
. A outra já está definida, centrada em [tex3](4, 7)[/tex3]
e de raio [tex3]6[/tex3]
.
Distância entre os centros: [tex3]d=\sqrt{(8-4)^2+(10-7)^2}=5[/tex3]
A condição para que duas circunferências sejam secantes é que a distância entre seus centros deve estar entre a diferença e a soma de seus raios:
[tex3]|r-6| < 5 < r+6[/tex3]
Dessa inequação tiramos 3 conclusões:
[tex3]r>-1[/tex3]
[tex3]r>1[/tex3]
[tex3]r<11[/tex3]
A primeira é inútil pois sabemos que o raio é positivo, então ficamos com [tex3]\boxed{1 < r < 11}[/tex3]
Distância entre os centros: [tex3]d=\sqrt{(8-4)^2+(10-7)^2}=5[/tex3]
A condição para que duas circunferências sejam secantes é que a distância entre seus centros deve estar entre a diferença e a soma de seus raios:
[tex3]|r-6| < 5 < r+6[/tex3]
Dessa inequação tiramos 3 conclusões:
[tex3]r>-1[/tex3]
[tex3]r>1[/tex3]
[tex3]r<11[/tex3]
A primeira é inútil pois sabemos que o raio é positivo, então ficamos com [tex3]\boxed{1 < r < 11}[/tex3]
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