Ensino Médio

Resolva a equação dada a seguir:
[tex3]secx-cosx=senx[/tex3]

Resposta

[tex3]x=+k\pi[/tex3] ou [tex3]x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in Z[/tex3]

[tex3]\sec x-\cos x=\sin x[/tex3]

[tex3]\frac{1}{\cos x}-\cos x=\sin x[/tex3]

[tex3]\frac{1-\cos^2x}{\cos x}=\sin x[/tex3]

[tex3]1-\cos^2x=\sin x\cos x[/tex3]

[tex3]\sin^2x=\frac{\sin(2x)}{2}[/tex3]

[tex3]\(\sqrt{\frac{1-\cos(2x)}{2}}\)^2=\frac{\sin(2x)}{2}[/tex3]

[tex3]1-\cos(2x)=\sin(2x)[/tex3]

[tex3]{\color{red}\(\sin(2x)+\cos(2x)\)^2=1}[/tex3]

[tex3]\sin^2(2x)+2\sin(2x)\cos(2x)+\cos^2(2x)=1[/tex3]

[tex3]\sin(4x)=0[/tex3]

[tex3]4x=k\pi[/tex3]

[tex3]x=\frac{k\pi}{4}, k\in\mathbb{Z}[/tex3]

Essa seria a resposta se não tivéssemos introduzido raízes estranhas por conta da elevação ao quadrado no passo destacado em vermelho.

Para que a equação [tex3]\sin(2x)+\cos(2x)=1[/tex3] também seja verdadeira, é necessário que [tex3]2k\pi\leq2x\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}[/tex3] e, portanto, [tex3]k\pi\leq x\leq k\pi+\frac{\pi}{4}, k\in\mathbb{Z}[/tex3] .

De [tex3]\begin{cases}x=\frac{k\pi}{4}\\k\pi\leq x\leq k\pi+\frac{\pi}{4}\\k\in\mathbb{Z}\end{cases}[/tex3] , concluímos que [tex3]x=k\pi[/tex3] ou [tex3]x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in\mathbb{Z}[/tex3] .

Eu acredito que compliquei um pouco ao elevar a equação ao quadrado. Deve haver um caminho mais direto.

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