Ensino MédioRazao entre raio e outra medida Tópico resolvido

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geobson
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Razao entre raio e outra medida

Mensagem não lida por geobson »

Na figura , calcule [tex3]\frac{r}{PH}[/tex3] :
A)[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
B)[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
C)[tex3]\frac{1}{6}[/tex3]
D)[tex3]\frac{1}{5}[/tex3]
E)[tex3]\frac{2}{7}[/tex3]
Resposta

D)[tex3]\frac{1}{5}[/tex3]
Anexos
Screenshot_2019-09-28-05-01-11~3.png
Screenshot_2019-09-28-05-01-11~3.png (43.81 KiB) Exibido 401 vezes




Auto Excluído (ID:12031)
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Set 2019 28 15:50

Re: Razao entre raio e outra medida

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

o arbelo de arquimedes é bem fascinante.
Ai dentro temos uma Cadeia de pappus
a altura do centro do [tex3]n[/tex3] -ésimo desses círculos vale [tex3]n[/tex3] vezes o seu diâmetro. O circulo apontado é o segundo, logo [tex3]\frac{r}{PH} = \frac{r}{4r} = \frac14 [/tex3]

A prova do resultado acima decorre da inversão no círculo centrado no diametro do circulo grande:

Tomemos um círculo [tex3]K[/tex3] que seja centrado no vértice esquerdo do diâmetro do semi-círculo maior da figura (o que envolve todos os outros) e que seja ortogonal ao [tex3]n[/tex3] -ésimo círculo na corrente de Pappus (chamarei este de [tex3]k_n[/tex3] ). Como os círculos são ortogonais a inversão com respeito a [tex3]K[/tex3] preserva o círculo [tex3]k_n[/tex3] os dois semi-círculos do arbelo ( o semi-círculo maior de todos e o semi-círculo que passa pelo centro de [tex3]K[/tex3] ) são transformados em retas por passarem pelo centro de [tex3]K[/tex3] como os dois são tangentes a [tex3]k_n[/tex3] as retas também serão, como os círculos se encontram apenas no centro de [tex3]K[/tex3] as retas se encontrarão no inverso desse centro, que não existe, logo as retas são paralelas. Agora note que os inversos de todos os outros [tex3]n[/tex3] círculos da cadeia também estão entre essas duas retas paralelas portanto todos possuem o mesmo diâmetro [tex3]d_n[/tex3] pode notar então que os círculos [tex3]k_0[/tex3] e [tex3]k_n[/tex3] contribuem com [tex3]\frac12d_n[/tex3] em relação a altura do centro de [tex3]k_n[/tex3] ao diâmetro do semi-círculo maior. Oscírculos de [tex3]k_1[/tex3] até [tex3]k_{n-1}[/tex3] contribuem com [tex3]d_n[/tex3] logo a altura do centro de [tex3]k_n[/tex3] é [tex3]n \cdot d_n[/tex3] no caso [tex3]2 \cdot (2r_2) = PH[/tex3]

Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sáb 28 Set, 2019 16:57). Total de 2 vezes.



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geobson
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Set 2019 28 21:51

Re: Razao entre raio e outra medida

Mensagem não lida por geobson »

Mais uma vez obrigado pela ajuda, meu amigo , Sousóeu !
Realmente fascinante esse assunto. Nao conhecia esse teorema .
Conhecimento nunca é demais , quanto mais , melhor. ...

Última edição: geobson (Sáb 28 Set, 2019 21:53). Total de 1 vez.



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