A)[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
B)[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
C)[tex3]\frac{1}{6}[/tex3]
D)[tex3]\frac{1}{5}[/tex3]
E)[tex3]\frac{2}{7}[/tex3]
Resposta
D)[tex3]\frac{1}{5}[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Razao entre raio e outra medida Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Set 2019
28
05:10
Razao entre raio e outra medida
Na figura , calcule [tex3]\frac{r}{PH}[/tex3]
:
A)[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
B)[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
C)[tex3]\frac{1}{6}[/tex3]
D)[tex3]\frac{1}{5}[/tex3]
E)[tex3]\frac{2}{7}[/tex3]
D)[tex3]\frac{1}{5}[/tex3]
A)[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]
B)[tex3]\frac{1}{4}[/tex3]
C)[tex3]\frac{1}{6}[/tex3]
D)[tex3]\frac{1}{5}[/tex3]
E)[tex3]\frac{2}{7}[/tex3]
D)[tex3]\frac{1}{5}[/tex3]
- Anexos
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Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Set 2019
28
15:50
Re: Razao entre raio e outra medida
o arbelo de arquimedes é bem fascinante.
Ai dentro temos uma Cadeia de pappus
a altura do centro do [tex3]n[/tex3] -ésimo desses círculos vale [tex3]n[/tex3] vezes o seu diâmetro. O circulo apontado é o segundo, logo [tex3]\frac{r}{PH} = \frac{r}{4r} = \frac14 [/tex3]
A prova do resultado acima decorre da inversão no círculo centrado no diametro do circulo grande:
Tomemos um círculo [tex3]K[/tex3] que seja centrado no vértice esquerdo do diâmetro do semi-círculo maior da figura (o que envolve todos os outros) e que seja ortogonal ao [tex3]n[/tex3] -ésimo círculo na corrente de Pappus (chamarei este de [tex3]k_n[/tex3] ). Como os círculos são ortogonais a inversão com respeito a [tex3]K[/tex3] preserva o círculo [tex3]k_n[/tex3] os dois semi-círculos do arbelo ( o semi-círculo maior de todos e o semi-círculo que passa pelo centro de [tex3]K[/tex3] ) são transformados em retas por passarem pelo centro de [tex3]K[/tex3] como os dois são tangentes a [tex3]k_n[/tex3] as retas também serão, como os círculos se encontram apenas no centro de [tex3]K[/tex3] as retas se encontrarão no inverso desse centro, que não existe, logo as retas são paralelas. Agora note que os inversos de todos os outros [tex3]n[/tex3] círculos da cadeia também estão entre essas duas retas paralelas portanto todos possuem o mesmo diâmetro [tex3]d_n[/tex3] pode notar então que os círculos [tex3]k_0[/tex3] e [tex3]k_n[/tex3] contribuem com [tex3]\frac12d_n[/tex3] em relação a altura do centro de [tex3]k_n[/tex3] ao diâmetro do semi-círculo maior. Oscírculos de [tex3]k_1[/tex3] até [tex3]k_{n-1}[/tex3] contribuem com [tex3]d_n[/tex3] logo a altura do centro de [tex3]k_n[/tex3] é [tex3]n \cdot d_n[/tex3] no caso [tex3]2 \cdot (2r_2) = PH[/tex3]
Ai dentro temos uma Cadeia de pappus
a altura do centro do [tex3]n[/tex3] -ésimo desses círculos vale [tex3]n[/tex3] vezes o seu diâmetro. O circulo apontado é o segundo, logo [tex3]\frac{r}{PH} = \frac{r}{4r} = \frac14 [/tex3]
A prova do resultado acima decorre da inversão no círculo centrado no diametro do circulo grande:
Tomemos um círculo [tex3]K[/tex3] que seja centrado no vértice esquerdo do diâmetro do semi-círculo maior da figura (o que envolve todos os outros) e que seja ortogonal ao [tex3]n[/tex3] -ésimo círculo na corrente de Pappus (chamarei este de [tex3]k_n[/tex3] ). Como os círculos são ortogonais a inversão com respeito a [tex3]K[/tex3] preserva o círculo [tex3]k_n[/tex3] os dois semi-círculos do arbelo ( o semi-círculo maior de todos e o semi-círculo que passa pelo centro de [tex3]K[/tex3] ) são transformados em retas por passarem pelo centro de [tex3]K[/tex3] como os dois são tangentes a [tex3]k_n[/tex3] as retas também serão, como os círculos se encontram apenas no centro de [tex3]K[/tex3] as retas se encontrarão no inverso desse centro, que não existe, logo as retas são paralelas. Agora note que os inversos de todos os outros [tex3]n[/tex3] círculos da cadeia também estão entre essas duas retas paralelas portanto todos possuem o mesmo diâmetro [tex3]d_n[/tex3] pode notar então que os círculos [tex3]k_0[/tex3] e [tex3]k_n[/tex3] contribuem com [tex3]\frac12d_n[/tex3] em relação a altura do centro de [tex3]k_n[/tex3] ao diâmetro do semi-círculo maior. Oscírculos de [tex3]k_1[/tex3] até [tex3]k_{n-1}[/tex3] contribuem com [tex3]d_n[/tex3] logo a altura do centro de [tex3]k_n[/tex3] é [tex3]n \cdot d_n[/tex3] no caso [tex3]2 \cdot (2r_2) = PH[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sáb 28 Set, 2019 16:57). Total de 2 vezes.
Set 2019
28
21:51
Re: Razao entre raio e outra medida
Mais uma vez obrigado pela ajuda, meu amigo , Sousóeu !
Realmente fascinante esse assunto. Nao conhecia esse teorema .
Conhecimento nunca é demais , quanto mais , melhor. ...
Realmente fascinante esse assunto. Nao conhecia esse teorema .
Conhecimento nunca é demais , quanto mais , melhor. ...
Última edição: geobson (Sáb 28 Set, 2019 21:53). Total de 1 vez.
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