Ensino Médio ⇒ Ângulo da bissetriz no triangulo retangulo Tópico resolvido

[Menitham]

Calcular o angulo da bissetriz sabendo de duas medidas

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Resposta

---

Gabarito : e)

[LostWalker]

Normalmente exercícios do tipo possuem duas forma de resolução, uma Geometria Analítica e outra em Geometria Plana. Se alguém conseguiu em Geometria Plana eu gostaria que explicasse, normalmente é uma abordagem mais rápida.

Por Geometria Analítica temos

Vamos definir que essa Bissetriz tenha um valor [tex3]y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y[/tex3]

e vamos usar Lei dos Senos para os dois triângulos

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Triângulo com lado [tex3]3[/tex3]

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[tex3]3[/tex3]

:

[tex3]\frac{y}{\sen90^\circ}=\frac{3}{\sen x}\,\,\,\therefore \,\,\,y=\sen90^\circ\cdot\frac{3}{\sen x}[/tex3]

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[tex3]\frac{y}{\sen90^\circ}=\frac{3}{\sen x}\,\,\,\therefore \,\,\,y=\sen90^\circ\cdot\frac{3}{\sen x}[/tex3]

Triângulo com lado [tex3]5[/tex3]

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[tex3]5[/tex3]

:

[tex3]\frac{y}{\sen(90^\circ-2x)}=\frac5{\sen x}\,\,\,\therefore\,\,\,y=\sen(90^\circ-2x)\cdot\frac5{\sen x}[/tex3]

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[tex3]\frac{y}{\sen(90^\circ-2x)}=\frac5{\sen x}\,\,\,\therefore\,\,\,y=\sen(90^\circ-2x)\cdot\frac5{\sen x}[/tex3]

*Esse [tex3]90^\circ-2x[/tex3]

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[tex3]90^\circ-2x[/tex3]

se refere ao terceiro ângulo do Triangulo Maior (que envolve os dois pequenos)

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Igualando:

[tex3]{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sen90^\circ}}^1\cdot\frac{3}{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sen x}}=\sen(90^\circ-2x)\cdot\frac5{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sen x}}[/tex3]

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[tex3]{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sen90^\circ}}^1\cdot\frac{3}{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sen x}}=\sen(90^\circ-2x)\cdot\frac5{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sen x}}[/tex3]

[tex3]{\color{Green}\frac35}=\sen(90^\circ-2x)[/tex3]

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[tex3]{\color{Green}\frac35}=\sen(90^\circ-2x)[/tex3]

*Você deve reconhecer esse [tex3]\frac35[/tex3]

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[tex3]\frac35[/tex3]

ele vem de [tex3]\sen 37^\circ[/tex3]

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[tex3]\sen 37^\circ[/tex3]

, sim, pra ITA/IME você precisa saber disso decorado, ademais, ele vem do famoso triângulo Pitagórico, o [tex3]3, 4, 5[/tex3]

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[tex3]3, 4, 5[/tex3]

[tex3]{\color{Green}\sen37^\circ}=\sen(90^\circ-2x)[/tex3]

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[tex3]{\color{Green}\sen37^\circ}=\sen(90^\circ-2x)[/tex3]

[tex3]37^\circ=90^\circ-2x[/tex3]

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[tex3]37^\circ=90^\circ-2x[/tex3]

[tex3]2x=53^\circ[/tex3]

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[tex3]2x=53^\circ[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{x=\frac{53}2}[/tex3]

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[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{x=\frac{53}2}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa E}[/tex3]

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[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa E}[/tex3]

[lookez]

Normalmente exercícios do tipo possuem duas forma de resolução, uma Geometria Analítica e outra em Geometria Plana. Se alguém conseguiu em Geometria Plana eu gostaria que explicasse, normalmente é uma abordagem mais rápida.

Não entendi o que quis dizer, sua solução foi geometria plana + trigonometria.

E por plana a questão sai bem naturamente, fazendo um teorema das bissetrizes você coloca um cateto em função do outro no triângulo maior, depois faz pitágoras pra achar os 3 lados e descobre que é o triângulo 6-8-10, múltiplo do 3-4-5. A partir disso encontra o tamanho da bissetriz com outro pitágoras e pode encontrar qualquer ângulo do problema com trigonometria básica, o interessante é que a questão requere que você aproxime os ângulos do 3-4-5 pra 37° e 53° para chegar no gabarito, eles são na verdade 36,xxx.. e 53,xxx.. O IME e o ITA não costumam fazer essas aproximações em questões de geometria, geralmente a reposta ficaria algum arccos ou arcsen.

[LostWalker]

lookez, eu fui rever meu comentário e foi realmente um equivoco meu, Lei dos Senos é de fato da Geometria Plana, eu erroneamente achei que ele se tratava de Geometria Analítica.

Já sobre esse arredondamento, antes de arredondar, eu havia chegado (nas minhas anotações):

[tex3]\frac35=\sen(90^\circ-2x)[/tex3]

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[tex3]\frac35=\sen(90^\circ-2x)[/tex3]

[tex3]\frac{3}{5}={\color{Red}\cancel{\color{Black}\sen90^\circ}^1}\cos(2x)+\sen(2x){\color{Red}\cancel{\color{Black}\cos90^\circ}^0}[/tex3]

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[tex3]\frac{3}{5}={\color{Red}\cancel{\color{Black}\sen90^\circ}^1}\cos(2x)+\sen(2x){\color{Red}\cancel{\color{Black}\cos90^\circ}^0}[/tex3]

[tex3]\frac{3}{5}=\cos(2x)[/tex3]

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[tex3]\frac{3}{5}=\cos(2x)[/tex3]

[tex3]\frac{3}{5}=1-2\sen^2(x)[/tex3]

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[tex3]\frac{3}{5}=1-2\sen^2(x)[/tex3]

[tex3]\sen^2x=\frac15[/tex3]

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[tex3]\sen^2x=\frac15[/tex3]

Então eu parei aí, não havia uma resposta aparente, até eu notar o [tex3]\frac35[/tex3]

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[tex3]\frac35[/tex3]

e usar a aproximação, tirando esse modo, não havia nenhuma que satisfazer-se a questão, pelo menos não por esse modo de resolver.

[Menitham]

lookez sera que sai essa resolucao que voce comentou? Seria de muita ajuda

[jvmago]

Uma saíde geometrica, aplciando o teorema da bissetriz interna temos
[tex3]\frac{3}{AC}=\frac{5}{AB}[/tex3]

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[tex3]\frac{3}{AC}=\frac{5}{AB}[/tex3]

[tex3]\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}[/tex3]

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[tex3]\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}[/tex3]

OORA o cateto e a hipotenusa estão na proporção 3 para 5 então ele é pitagorico tal que

[tex3]2x=53[/tex3]

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[tex3]2x=53[/tex3]

[tex3]PIMBADA[/tex3]

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[tex3]PIMBADA[/tex3]