alguém me ajuda ja tentei de tudo nessa questão e nada funciona.
As retas [tex3](t): y=2x+2\sqrt{29}[/tex3]
e [tex3](s):y=2x-2\sqrt{29}[/tex3]
são tangentes à elipse de equação [tex3]16x^2+25y^2=400[/tex3]
. A área do quadrilátero formado pelos dois pontos de tangência e pelos dois pontos de concorrência dessas retas com eixo das abcissas é:
a) 8
b) 10
c) 16
d) 28
e) 29
Ensino Médio ⇒ Elipse e Retas Tangentes
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Set 2019
21
16:13
Elipse e Retas Tangentes
Última edição: caju (Sáb 21 Set, 2019 17:21). Total de 1 vez.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
Set 2019
22
02:31
Re: Elipse e Retas Tangentes
Primeiramente, calculando os pontos de interseção das retas com o eixo das abscissas:
[tex3]t,s:y=2x\pm2\sqrt{29}[/tex3]
[tex3]t,s\space\cap\text{Ox}:0 = 2x\pm2\sqrt{29}\rightarrow x=\pm\sqrt{29}[/tex3]
[tex3]B(\sqrt{29}, 0)[/tex3] e [tex3]D(-\sqrt{29}, 0)[/tex3]
Agora fazemos a interseção com a elipse:
[tex3]\begin{cases}16x^2+25y^2=400\\
y=2x\pm2\sqrt{29}\end{cases}[/tex3]
[tex3]16x^2+25(2x\pm2\sqrt{29})^2=400[/tex3]
[tex3]x=\pm\frac{25\sqrt{29}}{29}[/tex3]
Substituindo na reta:
[tex3]y=2\left(\pm\frac{25\sqrt{29}}{29}\right)\pm2\sqrt{29}[/tex3]
[tex3]y=\pm\frac{8\sqrt{29}}{29}[/tex3]
[tex3]A\left(-\frac{25\sqrt{29}}{29},\frac{8\sqrt{29}}{29}\right)[/tex3] e [tex3]B\left(\frac{25\sqrt{29}}{29},-\frac{8\sqrt{29}}{29}\right)[/tex3]
Agora para calcular a área, poderíamos fazer o determinante com os pontos do quadrilátero sabendo que [tex3]A=\frac{|\Delta|}{2}[/tex3] , mas nesse caso pela simetria do problema é muito mais fácil calcular a área dos dois triângulos congruentes [tex3]△ABD[/tex3] e [tex3]△CBD[/tex3] dentro do paralelogramo, veja a figura abaixo.
A base [tex3]\overline{BD}[/tex3] será a distância entre [tex3]B[/tex3] e [tex3]D[/tex3] , que é [tex3]2\sqrt{29}[/tex3] , e a altura será a ordenada do ponto [tex3]A[/tex3] ou [tex3]C[/tex3] , em módulo, que é [tex3]\frac{8\sqrt{29}}{29}[/tex3] . Logo:
[tex3]A = 2\cdot\frac{2\sqrt{29}\cdot \frac{8\sqrt{29}}{29}}{2} = \frac{16\cancel{(\sqrt{29})^2}}{\cancel{29}}=\boxed{16}[/tex3]
[tex3]t,s:y=2x\pm2\sqrt{29}[/tex3]
[tex3]t,s\space\cap\text{Ox}:0 = 2x\pm2\sqrt{29}\rightarrow x=\pm\sqrt{29}[/tex3]
[tex3]B(\sqrt{29}, 0)[/tex3] e [tex3]D(-\sqrt{29}, 0)[/tex3]
Agora fazemos a interseção com a elipse:
[tex3]\begin{cases}16x^2+25y^2=400\\
y=2x\pm2\sqrt{29}\end{cases}[/tex3]
[tex3]16x^2+25(2x\pm2\sqrt{29})^2=400[/tex3]
[tex3]x=\pm\frac{25\sqrt{29}}{29}[/tex3]
Substituindo na reta:
[tex3]y=2\left(\pm\frac{25\sqrt{29}}{29}\right)\pm2\sqrt{29}[/tex3]
[tex3]y=\pm\frac{8\sqrt{29}}{29}[/tex3]
[tex3]A\left(-\frac{25\sqrt{29}}{29},\frac{8\sqrt{29}}{29}\right)[/tex3] e [tex3]B\left(\frac{25\sqrt{29}}{29},-\frac{8\sqrt{29}}{29}\right)[/tex3]
Agora para calcular a área, poderíamos fazer o determinante com os pontos do quadrilátero sabendo que [tex3]A=\frac{|\Delta|}{2}[/tex3] , mas nesse caso pela simetria do problema é muito mais fácil calcular a área dos dois triângulos congruentes [tex3]△ABD[/tex3] e [tex3]△CBD[/tex3] dentro do paralelogramo, veja a figura abaixo.
A base [tex3]\overline{BD}[/tex3] será a distância entre [tex3]B[/tex3] e [tex3]D[/tex3] , que é [tex3]2\sqrt{29}[/tex3] , e a altura será a ordenada do ponto [tex3]A[/tex3] ou [tex3]C[/tex3] , em módulo, que é [tex3]\frac{8\sqrt{29}}{29}[/tex3] . Logo:
[tex3]A = 2\cdot\frac{2\sqrt{29}\cdot \frac{8\sqrt{29}}{29}}{2} = \frac{16\cancel{(\sqrt{29})^2}}{\cancel{29}}=\boxed{16}[/tex3]
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Última edição: lookez (Dom 22 Set, 2019 03:38). Total de 6 vezes.
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