Ensino Médio ⇒ Combinatória - (uma barbearia) Tópico resolvido

[paulo testoni]

Há 11 homens aguardando sua vez em uma barbearia, entre eles André, Bruno e Carlos. Há uma fila de 11 assentos para os clientes. Determine o número de maneiras de arranjar os homens nos assentos de modo que André, Bruno e Carlos não ocupem assentos consecutivos. R = 8!*9*8*7

[MateusQqMD]

Olá,

Em primeiro lugar, devemos arrumar os outros 8 homens em fila. Isso pode ser feito de [tex3]8! [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]8! [/tex3]

modos. Por exemplo, uma dessas configurações é

[tex3]\begin{array}{ccccccccc}
\underline{} & \text{H}_1 & \underline{} & \text{H}_2 & \underline{} & \text{H}_3 & \underline{} & \text{H}_4 & \underline{} & \text{H}_5 & \underline{} & \text{H}_6 & \underline{} & \text{H}_7 & \underline{} & \text{H}_8 & \underline{} \\
1 & & 2 & & 3 & & 4 & & 5 & & 6 & & 7 & & 8 & & 9\\

\end{array}[/tex3]

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[tex3]\begin{array}{ccccccccc}
\underline{} & \text{H}_1 & \underline{} & \text{H}_2 & \underline{} & \text{H}_3 & \underline{} & \text{H}_4 & \underline{} & \text{H}_5 & \underline{} & \text{H}_6 & \underline{} & \text{H}_7 & \underline{} & \text{H}_8 & \underline{} \\
1 & & 2 & & 3 & & 4 & & 5 & & 6 & & 7 & & 8 & & 9\\

\end{array}[/tex3]

Em seguida, teremos [tex3]9[/tex3]

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[tex3]9[/tex3]

lugares disponíveis para colocar André. Depois de escolhido seu lugar, haverá [tex3]8[/tex3]

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[tex3]8[/tex3]

modos de arranjar Bruno. Por fim, teremos [tex3]7[/tex3]

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[tex3]7[/tex3]

lugares para Carlos.

A resposta é [tex3]8!\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7.[/tex3]

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[tex3]8!\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7.[/tex3]

Mais tarde eu mostro uma outra solução. Mas a ideia é selecionar três lugares de modo que não haja lugares consecutivos (viewtopic.php?f=2&t=76151) e depois arrumar André, Bruno e Carlos. Agora, basta arrumar as outras oito pessoas nos lugares restantes (8! modos).

[csmarcelo]

É curioso o que está acontecendo. Em todos os meus anos de fórum, até uns dias atrás não havia visto uma única questão que estivesse relacionada ao Primeiro Lema de Kaplansky. Agora, quase todo dia tem uma.

[csmarcelo]

A forma a qual o Mateus se refere, é justamente aplicando o Primeiro Lema de Kanplasky, que ele referenciou na mensagem.

Existem [tex3]C^{11-3+1}_{3}=84[/tex3]

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[tex3]C^{11-3+1}_{3}=84[/tex3]

formas de escolher os lugares de André, Bruno e Carlos, de forma que não sejam consecutivos.

Depois de escolhidos esses lugares, basta permutarmos, de forma independente, os três rapazes e os oito restantes.

Assim, temos um total de [tex3]84\cdot3!\cdot8!=8!\cdot9\cdot8\cdot7[/tex3]

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[tex3]84\cdot3!\cdot8!=8!\cdot9\cdot8\cdot7[/tex3]

maneiras de arrumar as 11 pessoas na fila.

[MateusQqMD]

Pois é.. também percebi isso. Alguns problemas acabam saindo de outra forma, como é o caso desse. Inclusive o gabarito sugere isso.

Paulo, fiz uma ligeira edição na minha primeira mensagem para melhorar a visualização da resolução.