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Número real e raizes de uma função quadrática

Enviado: Qua 11 Set, 2019 15:49
por sirisaac
Determine m para que a equação do 2 grau [tex3]mx^2-2(m-1)x-m-1=0[/tex3] tenha uma única raiz entre -1 e 2.

Re: Número real e raizes de uma função quadrática

Enviado: Qua 11 Set, 2019 16:22
por MateusQqMD
Olá,

Seja [tex3]f(X) = mX^2 - 2(m-1)X -m -1[/tex3]

Para as raízes serem reais, o discriminante deve ser [tex3]\geq 0,[/tex3] ou seja,

[tex3]\Delta = \left[ - 2(m-1) \right ]^2 - 4\cdot m\cdot(-m -1) \geq 0 [/tex3]

[tex3]\Delta = -8m^2 - 4m +4  \geq 0\,\,\, \forall \,\, m \in \mathbb{R}[/tex3]

Pelo Teorema de Bolzano,
Se tivermos uma função [tex3]f,[/tex3] contínua num intervalo ]a, b[, e se [tex3]f (a). f (b) < 0,[/tex3] então existe uma quantidade ímpar de raízes nesse intervalo.
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/h ... sequence=1

Daí, por [tex3]f[/tex3] ser do segundo grau, essa raiz será única

[tex3]f(-1).f(2) < 0[/tex3]

[tex3](2m -3)(-m +3) < 0 [/tex3]

Faça o quadro de sinais e conclua que [tex3] m < \frac{3}{2} [/tex3] ou [tex3]m > 3.[/tex3]

Por fim, da condição de existência de [tex3]f,[/tex3] [tex3]m \neq 0.[/tex3]

[tex3]S = \left\{ m \in \mathbb{R}\,\, |\,\, m < \frac{3}{2}\,\, \text{e}\,\, m \neq 0  \,\, \text{ou} \,\, m > 3 \right\}[/tex3]