Ensino Médio ⇒ Número real e raizes de uma função quadrática Tópico resolvido
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Número real e raizes de uma função quadrática
Determine m para que a equação do 2 grau [tex3]mx^2-2(m-1)x-m-1=0[/tex3]
tenha uma única raiz entre -1 e 2.-
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Set 2019
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16:22
Re: Número real e raizes de uma função quadrática
Olá,
Seja [tex3]f(X) = mX^2 - 2(m-1)X -m -1[/tex3]
Para as raízes serem reais, o discriminante deve ser [tex3]\geq 0,[/tex3] ou seja,
[tex3]\Delta = \left[ - 2(m-1) \right ]^2 - 4\cdot m\cdot(-m -1) \geq 0 [/tex3]
[tex3]\Delta = -8m^2 - 4m +4 \geq 0\,\,\, \forall \,\, m \in \mathbb{R}[/tex3]
Pelo Teorema de Bolzano,
Daí, por [tex3]f[/tex3] ser do segundo grau, essa raiz será única
[tex3]f(-1).f(2) < 0[/tex3]
[tex3](2m -3)(-m +3) < 0 [/tex3]
Faça o quadro de sinais e conclua que [tex3]m < \frac{3}{2} [/tex3] ou [tex3]m > 3.[/tex3]
Por fim, da condição de existência de [tex3]f,[/tex3] [tex3]m \neq 0.[/tex3]
[tex3]S = \left\{ m \in \mathbb{R}\,\, |\,\, m < \frac{3}{2}\,\, \text{e}\,\, m \neq 0 \,\, \text{ou} \,\, m > 3 \right\}[/tex3]
Seja [tex3]f(X) = mX^2 - 2(m-1)X -m -1[/tex3]
Para as raízes serem reais, o discriminante deve ser [tex3]\geq 0,[/tex3] ou seja,
[tex3]\Delta = \left[ - 2(m-1) \right ]^2 - 4\cdot m\cdot(-m -1) \geq 0 [/tex3]
[tex3]\Delta = -8m^2 - 4m +4 \geq 0\,\,\, \forall \,\, m \in \mathbb{R}[/tex3]
Pelo Teorema de Bolzano,
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/h ... sequence=1Se tivermos uma função [tex3]f,[/tex3]contínua num intervalo ]a, b[, e se [tex3]f (a). f (b) < 0,[/tex3] então existe uma quantidade ímpar de raízes nesse intervalo.
Daí, por [tex3]f[/tex3] ser do segundo grau, essa raiz será única
[tex3]f(-1).f(2) < 0[/tex3]
[tex3](2m -3)(-m +3) < 0 [/tex3]
Faça o quadro de sinais e conclua que [tex3]m < \frac{3}{2} [/tex3] ou [tex3]m > 3.[/tex3]
Por fim, da condição de existência de [tex3]f,[/tex3] [tex3]m \neq 0.[/tex3]
[tex3]S = \left\{ m \in \mathbb{R}\,\, |\,\, m < \frac{3}{2}\,\, \text{e}\,\, m \neq 0 \,\, \text{ou} \,\, m > 3 \right\}[/tex3]
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
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